第2章 2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

第2课时　一元二次不等式的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握一元二次不等式的实际应用．(重点) 2.理解三个“二次”之间的关系. 3.会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点) 1.通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养. 2.借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养. 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素． 在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2. 问题：如何判断甲、乙两车是否超速？ 提示：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1 200＞0， 解得x＞30或x＜－40(不符合实际意义，舍去)． 这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h. 对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10， 即x2＋10x－2 000＞0， 解得x＞40或x＜－50(不符合实际意义，舍去)． 这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速． 1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一： 或 法二： (ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一： 或 法二： ＞k (其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 思考1：>0变形为(x－3)(x＋2)>0，有什么好处？>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？将 提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式． 2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k 3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤 (1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回归实际问题． 思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？ 提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)不等式>1的解集为x<1. (　　) (2)求解m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立时，可转化为求解y＝ax2＋bx＋c的最小值，从而求出m的范围． (　　) [提示]　(1)<0⇒{x|0<x<1}．故(1)错．－1>0⇒>1⇒ (2)m>ax2＋bx＋c(a＜0)恒成立转化为m大于y＝ax2＋bx＋c的最大值，故(2)错． [答案]　(1)×　(2)×　 2．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于(　　) A．{x|－1≤x<0}　　　　 B．{x|0<x≤1} C．{x|0≤x<2} D．{x|0≤x≤1} B　[∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤1}．] 3．不等式≥5的解集是________． .] 解得0<x≤≤0⇔⇔≥　[原不等式⇔ 4．若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系h＝v0t－gt2，其中g≈10 m/s2.一名同学以初速度v0＝12 m/s竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2 m以上的位置最多停留的时间为________s．(精确到0.01 s) 2.04　[依题意得12t－×10t2＞2，即5t2－12t＋2＜0， 解得.＜t＜ ∴≈2.04.] ＝－ 分式不等式的解法 【例1】　解下列不等式： (1)<0； (2)≤1. [解]　(1)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3， ∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}． (2)∵－1≤0，≤1，∴ ∴≥0.≤0，即 此不等式等价于(x－4)≠0，≥0且x－ 解得x<或x≥4， ∴原不等式的解集为. 1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元