第2章 2.3 第1课时 一元二次不等式及其解法-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　一元二次不等式及其解法 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握一元二次不等式的解法．(重点) 2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点) 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养. (1)已知三个方程：x2－4x＋3＝0；x2－4x＋4＝0；x2－4x＋5＝0. (2)已知三个函数y1＝x2－4x＋3，y2＝x2－4x＋4，y3＝x2－4x＋5及三个函数对应的图象． 问题：(1)中三个方程的解分别为x1＝1，x2＝3；x1＝x2＝2；无解，(2)中三个函数与x轴交点横坐标分别为1,3；2；无交点．由图象观察可知在(2)中三个函数中，x分别取何值函数值为正、负？ 提示：对于y1＝x2－4x＋3，当x＜1或x＞3时，y1＝x2－4x＋3＞0，当1＜x＜3时，y1＝x2－4x＋3＜0；对于y2＝x2－4x＋4，当x≠2时，y2＝x2－4x＋4＞0；对于y3＝x2－4x＋5，当x∈R时，y3＝x2－4x＋5＞0. 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． 思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义可知不是一元二次不等式． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 4．三个“二次”的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图象 解不等式y＞0或y＜0的步骤 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)mx2－5x<0是一元二次不等式． (　　) (2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解． (　　) (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}． (　　) (4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R. (　　) [提示]　(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式． (2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R. (3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}，否则不成立． (4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R. [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　 2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　) A.　　　 B． C．∅ D．R D　[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.] 3．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　) A. B. C. D．R C　[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－.] 4．若有意义，则实数x的取值范围为________． x≥3或x≤－4　[要使有意义，则x2＋x－12≥0，∴(x－3)(x＋4)≥0，∴x≥3或x≤－4.] 一元二次不等式的解法 【例1】　解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－≥0； (3)－2x2＋3x－2<0. [解]　(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－..又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为 (2)原不等式可化为.≤0