第2章 2.2 第2课时 基本不等式的应用-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【名师导航】同步Word教参(人教A版)

第2课时　基本不等式的应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点) 2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点) 1.通过基本不等式求最值，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养. (1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？ (2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？ 问题：实例中两个问题的实质是什么？如何求解？ 提示：这两个都是求最值问题．第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽y的和一定，求xy的最大值，xy≤＝200，当且仅当x＝y＝100时，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省． ＝2＝252＝625，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大．第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小问题，x＋y≥2 已知x，y都是正数， (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值． (　　) (2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4. (　　) (3)当x>1时，函数y＝x＋. (　　) ，所以函数y的最小值是2≥2 [提示]　(1)由a＋b≥2可知正确． (2)由ab≤＝4可知正确． (3)不是常数，故错误． [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝的最小值是(　　) ＋ A.　　　　 B．4　　　　 C.　　 D．5 C　[∵a＋b＝2，∴＝1. ∴＝＋ ＝＝＋2≥＋ . 故y＝.]的最小值为＋ 3．若x>0，则x＋的最小值是________． 2时，等号成立．]，当且仅当x＝＝2≥2　[x＋ 4.的最大值为________． 5　[＝5.]≤ 利用基本不等式求最值 【例1】　(1)已知x＞1，求y＝x＋的最小值； (2)已知0<x<x(1－2x)的最大值． ，求y＝ [思路点拨]　(1)看到求y＝x＋x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝ [解]　(1)∵x＞1，∴x－1＞0， ∴y＝x＋＋1＝(x－1)＋ ≥2＋1 ＝2＋1＝3. 当且仅当x－1＝，即(x－1)2＝1， x＝2(x＝0舍去)时“＝”成立． 故当x＝2时，y＝x＋的最小值为3. (2)∵0<x<， ∴1－2x>0， ∴y＝.＝×＝××2x(1－2x)≤ 当且仅当2x＝1－2x.x(1－2x)的最大值为时，y＝，即x＝ 利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件. 1．(1)已知x>0，求y＝的最小值； (2)已知0<x<，求y＝x(1－3x)的最大值． [解]　(1)∵x＞0，y＝＋5＝9，＋5≥2＝x＋ 当且仅当x＝，即x＝2时等号成立． 故y＝(x>0)的最小值为9. (2)法一：∵0<x<，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x) ≤.＝ 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝.时，y取得最大值 法二：∵0<x<－x>0.，∴ ∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3· ＝时，等号成立．－x，即x＝，当且仅当x＝ ∴当x＝.时，y取得最大值 利用基本不等式求条件最值 【例2】　已知x＞0，y＞0，且满足＝1.求x＋2y的最小值． ＋ [解]　∵x＞0，y＞0，＝1，＋ ∴x＋2y＝＋(x＋2y)＝10＋ ≥10＋2＝18， 当且仅当 即时，等号成立， 故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18. 若把“的最小值． ＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋ [解]　∵x，y∈R＋， ∴＝(x＋2y)＋ ＝8＋＝18.≥10＋2＋＋2＝10＋＋ 当且仅当时取等号，＝ 结合x＋2y＝1，得x＝，，y＝ ∴当x＝取到最小值18.＋时，，y＝ 1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形． 2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋型和f(x)＝ax(b－ax)型． 2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求的最小值． ＋ [解]　法一：·1＝＋ ＝·(a＋2b) ＝1＋≥3＋2＋＋2＝3＋＋ ＝3＋2， 当且