第三章 §2 2.2 第2课时 空间向量的数量积运算（课件PPT）【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册同步导学案（北师大版）

数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 §2　空间向量与向量运算 2．2　空间向量的运算 第2课时　空间向量的数量积运算 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 必备知识 自主探究 关键能力 互动探究 课时作业 巩固提升 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [教材提炼] 知识点一　空间向量的夹角 预习教材，思考问题 空间任意两个向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，思考平面中的两个向量a，b，它们的夹角是如何定义的？范围如何？ [提示]　将a，b移到共同的起点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则∠AOB叫作a与b的夹角，记作θ＝∠AOB，范围是[0, π]．　　　 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 ∠AOB 〈a，b〉 [0，π] π 0或π 垂直 a⊥b 知识梳理　(1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则____________叫作向量a，b的夹角，记作_______________. (2)范围：〈a，b〉∈_______________.特别地，当〈a，b〉＝0时，两向量a，b同向共线；当〈a，b〉＝___时，两向量a，b反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝_________；当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，两向量a，b互相______，记作_________. 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 知识点二　空间向量的数量积及其性质 预习教材，思考问题 平面中的两个非零向量a，b，它们的数量积a·b是如何定义的？ [提示]　定义|a||b|cos θ为a，b的数量积a·b.　　　 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 知识梳理 非零 |a||b|cos〈a，b〉 |a||b|cos〈a，b〉 0 0 a·b＝0 |a|2 a2 λ(a·b) a·b＋a·c 定义 已知两个______向量a，b，则______________________叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝______________________.零向量与任意向量的数量积为___，即0·a＝___ 性质 a⊥b⇔_______________； a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝______＝______ 运算律 (λa)·b＝__________________ a·b＝b·a(交换律) a·(b＋c)＝_______________(分配律) 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 知识点三　投影向量与投影数量 预习教材，思考问题 在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影，思考在平面向量中，我们怎样作向量a向向量b投影，得到的投影向量是怎么定义的？ 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 [提示]　设a，b是两个非零向量，如图，在平面内任取一点O，作eq \o(OM,\s\up16(→))＝a，eq \o(ON,\s\up16(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，得到eq \o(OM1,\s\up16(→))，　　　 我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \o(OM1,\s\up16(→))叫作向量a在向量b上的投影向量．设a与b的夹角为θ，则eq \o(OM1,\s\up16(→))＝|a|cos θeq \f(b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))). 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 ||b|cos〈a，b〉| 知识梳理　(1)投影向量 已知两个非零向量a，b在空间任取一点O，作eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为B1，称向量eq \o(OB1,\s\up16(→))为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于_____________________. 数学·选择性必修 第一册 返回导航 下页 上页 |b|cos〈a，b〉 当〈a，b〉为锐角时，|b|cos〈a，b〉＞0(如图(1)) 当〈a，b〉为钝角时，|b|cos〈a，b〉＜0(如图(2)) 当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，|b|cos〈a，b〉＝0(如图(3)) (2)投影数量 向量b在向量a方向上的投影数量为___________________________. 数学·选择性必修 第一册