专题1.3 集合的运算-《讲亮点》2021-2022学年高一数学新教材同步配套讲练（沪教版2020必修第一册）

专题1.3 集合的运算 板块一：知识概括 一、并集： 1、并集的概念： 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集。 记作：A∪B，读作：A并B。 符号语言表达式为：A∪B={x|x∈A或x∈B} 。 韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分） 如：｛1,2,3,6｝∪｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝。 特别提醒：（1）定义中“或”字的意义：用“或”字连接的并列成份之间不一定是互相排斥的。“x∈A或x∈B”这一条件包含下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈，但x∈B但x∉A；；x∈A或x∈B。（2）对于A∪B={x|x∈A或x∉B}，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素组成的集合，因为A与B可能有公共元素，所以上述看法，从集合元素的互异性看是错误的。 2、并集的性质： （1）A∪B⊇A A∪B⊇B； （2）A∪A=A； （3）A∪∅=A； （4）A∪B=B∪A。 3、讨论两集合在各种关系下的并集情况： （1）若A⊊B，则A∪B=B，如图①； （2）若B⊊A，则A∪B=A，如图②； ① ② ③ （3）若A=B，则A∪B=A（A∪B=B），如图③； （4）若A与B相交，则A∪B=图④中的阴影部分； （5）若A与B相离，则A∪B=图⑤中的阴影部分。 ④ ⑤ 二、交集： 1、交集的概念： 一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集。 记作：A∩B；读作：A交B。 符号语言表达式为：A∩B={x|x∈A或x∈B} 韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）： 如：｛1,2,3,6｝∩｛1,2,5,10｝=｛1,2｝． 特别提醒：对于A∩B={x|x∈A或x∈B}，是指A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素，同时这些公共元素都属于A∩B。还有并不是任何两个集合总有公共元素，当集合A与集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=∅。 2、交集的运算性质： （1）A∩B⊆A,A∩B⊆B；（2）A∩B=A；（3）A∩∅=∅；（4）A∩B=B∩A。 3、讨论两集合在各种关系下的交集情况： （1）若A⊊B，则A∩B=A，如图①； （2）若B⊊A，则A∩B=B，如图②； ① ② ③ （3）若A=B，则A∩B=A（A∩B⊆B），如图③； （4）若A与B相交，则A∩B=图④中的阴影部分； （5）若A与B相离，则A∩B=∅，如图⑤。 ④ ⑤ 三：全集与补集： 1、全集的概念： 如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示。 2、补集的概念： 一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即A⊆U），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）。 记作：∁UA；读作：A在U中的补集； 符号语言表达式为：∁UA={x∈U且x∉A} ； 韦恩（Venn）图表示，如右图（阴影部分）： 板块二：典例分析 类型一 交集的概念 例1：设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝(　　) A．{－2}　　　　　　 B．{2} C．{－2,2} D．∅ 解析：∵A＝{x|x＋2＝0}＝{－2}，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}． 答案：A 练习1：若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，则M∩N＝(　　) A．{1,4} B．{－1，－4} C．{0} D．∅ 答案：D 练习2：若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝(　　) A．{0，－1} B．{0}　 C．{1} 　 D．{－1,1} 答案： C 类型二 并集的概念 例2：集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　) A．0　　　 B．1　　　C．2　　　 D．4 解析： ∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}， ∴a2=16 a=4 ① 或a2=16 a=16②， 由①得a＝4，②无解．综上，得a＝4. 答案：D 练习1：若集合A＝{0,1,2,3}，集合B＝{1,2,4}，则A∪B＝(　　) A．{0,1,2,3,4} B