知识点01 导数的概念-【提升专练】2021-2022学年高二数学新教材同步学案+课时对点练（苏教版2019选择性必修第一册）

知识点01导数的概念 学习过程 1.函数的平均变化率 函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到________．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的________． 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率＝. 2.瞬时速度 一般地，如果当Δt无线趋近于____0____时，运动物体位移s(t)的平均变化率＝无限趋近于一个________，那么这个常数称为物体在t-t0时的________，也就是速度对于时间的________ 3.导数的定义 设函数y＝f(x)在区间（a，b）上有定义，x0，若Δx趋近于0时，比值 = 无线趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0) 4.导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是________．相应地，切线方程为________． 5.导函数的定义 从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作________或________，即f′(x)＝y′＝ . 特别提醒： 区别 联系 f′(x0) f′(x0)是具体的值，是____数值____ 在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求____导函数____，再计算导函数在这一点的函数值 f′(x) f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数 参考答案 1.f(x0＋Δx) 平均变化率 2.常数 瞬时加速度 瞬时变化率 4.f′(x0) y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 5.f′(x) y′ 题型探究 探究一、求利用图象理解导数的几何意义 例题1 若函数 在 处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（    ） A. B. C. D. 例题2 过点P（0，2）作曲线y＝ 的切线，则切点坐标为（    ） A. （1，1）                         B. （2， ）                         C. （3， ）                         D. （0，1） 反思感悟 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决． (1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的． (2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢． 课时对点练 一、单选题 1．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确是（ ） A． B． C． D． 2．将半径为R的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR，则铁球的表面积增加（ ） A．8πR(ΔR) B．8πR(ΔR)＋4π(ΔR)2 C．4πR(ΔR)＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2 3．已知函数满足，且时，，若时，方程有三个不同的根，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，，曲线上总存在两点，使曲线在､两点处的切线互相平行，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．①若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线； ②若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线； ③若不存在，则曲线在点处就没有切线； ④若曲线在点处有切线，则必存在. 则以上论断正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．若某质点的运动方程是（单位：），则在时的瞬时速度为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm，上口宽6 cm，水以20 cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4 cm时，水升高的瞬时变化率为________． 8．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血