知识点03 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式-【提升专练】2021-2022学年高一数学新教材同步学案+课时对点练（苏教版2019必修第一册）

知识点03从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 学习目标 1.了解什么是二次函数零点 2.掌握二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 3.熟练掌握是不等式恒成立问题 学习过程 一、从函数观点看一元二次方程 1.二次函数零点的概念 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a0）的根就是二次函数______________（a0）当函数值取零时自变量x值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c（a0）的图像与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c的______． 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个______的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个______的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ______ R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 ______ ∅ ∅ 2、 从函数观点看一元二次不等式 1.一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式叫做一元二次不等式 2.解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． 三、不等式恒成立问题 1.不等式在R上的恒成立问题 ①不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数当a=0时，b=0，且c>0时或a0时，______ ②不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数_____当a=0时，b=0，且c<0时或a0时，______ 2.在给定区间上的恒成立问题（设） ①a>0时，在ax时恒成立，______ ②a______时，在ax时恒成立，且 ③在ax时恒成立|x| x| ,其中是 的解集 参考答案 一、 y＝ax2＋bx＋c 零点 不相等 相等 {x|x<x1，或x>x2} {x|x1<x<x2} 三、 a>0且Δ<0 a>0且Δ<0 且 <0 题型探究 探究一、一元二次不等式的解法 例题1 一元二次不等式的解集是，则的值是（ ） A．10 B．-10 C．14 D．-14 【答案】D 【详解】 解：根据题意，一元二次不等式的解集是，且， 则方程的两根为和， 则有， 解可得，， 则， 故选：D． 例题2 一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】 解：一元二次不等式的解集为， 所以不等式对应方程的两个实数根是和2，且； 所以，即 所以不等式，即为，即，即，解得，即不等式的解集为． 故选：D． 反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤 (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中． (4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集． 课时对点练 一、单选题 1．已知集合，非空集合，，则实数的取值范围为（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ，由且为非空集合可知， 应满足，解得 故选：B 2．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为时，恒成立，所以在恒成立 因为，当且仅当，即或（舍）等号成立 所以 故选：A 3．已知，，且，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由题意：，， ∵， ∴当时，满足题意，此时无解，，解得：． 当时，要使成立，此时令有解，， 解得：或． 根据二次函数根的分布，可得，即，解得：， ∴， 综上可得：， 故选：B. 4．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围（ ） A．(- 1,4) B． C．(- 4,1) D． 【答案】B 【详解】 正实数x，y满足则 当且仅当，取得最小值4 由有解，即 解得m > 4或m < -1. 故选B 5．若方程的两根都大于 ，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设， 由题意得：， 解之得实数的取值范围为：. 故选：D 6．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由题意，不等式，可化为， 当时，不等式解集为 要使得不等式的解集中恰有3个整数，则； 当时，不等式的解集为 要使得不等式的解集中恰有3个整数，则， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D. 二、填空题 7．“已知关于的不等式的解