知识点02 基本不等式-【提升专练】2021-2022学年高一数学新教材同步学案+课时对点练（苏教版2019必修第一册）

知识点2基本不等式 学习目标 1.了解基本不等式 2.熟练掌握基本不等式的应用 3.基本不等式≤(a，b≥0)求最值应注意 学习过程 一、基本不等式 1.基本不等式：如果a,b是________，那么≤，（当且仅当a＝b时，等号成立．）我们把不等式________（a，b≥0）称为基本不等式． 2．变形：当a，b∈R时， ab________(当且仅当a＝b时，等号成立)； ab________2(当且仅当a＝b时，等号成立)． 二、基本不等式的应用 已知x，y都是正数， （1） 如果积xy等于________，那么当x=y时，和x+y有最小值2 （2） 如果和x+y等于________，那么当x=y时，记xy有最大值 注意： 利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等 一正：各项必须为____， 二定：各项之和或各项之积为____ 三相等：必须验证取等号时条件是否具备 三、基本不等式≤(a，b≥0)求最值应注意： (1)a，b是________． (2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值________； ②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值_______. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 四、利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案． 参考答案 一、.正数 ≤ ≤ ≤ 二、.定值P 定值S 正 定值 三、.正数 2 S2 题型探究 探究一、利用基本不等式求最值 例题1 已知，，，，且，则下列不等式中，成立的个数有①，②，③，④（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 因，，，，且，于是有： ，当且仅当时取“=”，①正确； ，当且仅当时取“=”，②正确； 时成立，而，③不正确； ，当且仅当时取“=”，而，④正确， 综上得：①②④共三个正确. 故选：C 例题2 若，，，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对于A，，，， 则，即，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，所以， 当且仅当时取等号，故B错误； 对于C， 不妨设，时，，故B错误； 对于D，，当且仅当时取等号，故D错误. 故选：A 反思感悟 基本不等式求最值的两种常用方法 (1)拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件． (2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． 课时对点练 一、单选题 1．已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则　(　　) A．ab≤ B．ab≥ C．a2+b2≥2 D．a2+b2≤3 【答案】C 【解析】 选C.由≥得ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又a2+b2≥2ab⇒2(a2+b2)≥(a+b)2⇒a2+b2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立. 2．若，则下列不等式中正确的不等式有（ ）个. ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】 对于①，因为，所以，所以该命题是错误的. 对于②，因为，所以，，所以，所以该命题是正确的. 对于③，因为，所以，， ∴当且仅当时取等，但是，所以不能取等，所以.所以该命题是正确的. 对于④，∴，所以该命题是正确的. 综上所述，正确的不等式有个. 故选：C 3．已知正实数满足，则的最小值是（ ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】 解： ， 当且仅当时取等号，即，时等号成立， 故选：． 4．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：由题意得，，则， 因为， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故选：B 5．已知，那么函数的最小值是（ ） A．5 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【详解】 ∵，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6． 故选：B． 6．若正数x，y满足，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】