第三节 导数与函数的极值、最值-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练

题型考点分析　第三节 导数与函数的极值、最值 【考点一】 根据图像判断函数的极值 【典型例题1】 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 【解析】　由题图可知，当x<－2时，1－x>3，此时f′(x)>0；当－2<x<1时，0<1－x<3，此时f′(x)<0；当1<x<2时，－1<1－x<0，此时f′(x)<0；当x>2时，1－x<－1，此时f′(x)>0，由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值． 【答案】　D 【考点二】 利用导数研究函数的极值 【典型例题2】 设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由． 【解析】 f′(x)＝ (x>－1)．＋a(2x－1)＝ 令g(x)＝2ax2＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)． ①当a＝0时，g(x)＝1，此时f′(x)>0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当a>0时，Δ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)． (i)当0<a≤时，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． (ii)当a>时，Δ>0，设方程2ax2＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1<x2)， 因为x1＋x2＝－..由g(－1)＝1>0，可得－1<x1<－，x2>－，所以x1<－ 所以当x∈(－1，x1)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 因此函数有两个极值点． ③当a<0时，Δ>0，由g(－1)＝1>0，可得x1<－1<x2. 当x∈(－1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．所以函数有一个极值点． 综上所述，当a<0时，函数f(x)有一个极值点； 当0≤a≤时，函数f(x)无极值点； 当a>时，函数f(x)有两个极值点． 【答案】 见解析 【归纳总结】 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤 ①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号． (2)根据函数极值情况求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． ②验证：求解后验证根的合理性． 【考点三】 已知函数的极值求参数 【典型例题3】 (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________． (2)若函数f(x)＝，3)上有极值点，则实数a的取值范围是________．x2＋x＋1在区间(－ 【解析】　(1)由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则 或解得 经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7. (2)若函数f(x)在区间(，3)上无极值， 则当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立．，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈( 当x∈()；的值域是[2，，3)时，y＝x＋ 当x∈(，3)时， f′(x)＝x2－ax＋1≥0， 即a≤x＋恒成立，a≤2； 当x∈(，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0， 即a≥x＋.恒成立，a≥ 因此要使函数f(x)在(，3)上有极值点， 则实数a的取值范围是(2，)． 【答案】　(1)－7　(2)(2，) 【考点四】 利用导数求函数的最值(值域) 【典型例题4】 已知函数f(x)＝(x－)． )e－x(x≥ (1)求f(x)的导函数； (2)求f(x)在区间上的取值范围． 【解析】　(1)因为(x－.)e－x＝e－x－(x－，(e－x)′＝－e－x，所以f′(x)＝)′＝1－ (2)由f′(x)＝.＝0，解得x＝1或x＝ 于是当x发生变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表 x 1 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) e－ ↘ 0 ↗ e－ ↘ 又f(x)＝.上的取值范围是－1)2e－x≥0，所以f(x)