专题07 二次函数性质的再研究-【必考锦集】2021-2022学年高一数学同步考点锦集（北师大版必修1）

专题07二次函数性质的再研究 【学习目标】 1.掌握二次函数的图象和性质，会判断二次函数的单调性； 2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题； 3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式． 【考点梳理】 考点一：二次函数的性质与图象 1．函数 的图象和性质 关于二次函数 的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下： 函数 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 单调性 最大(小)值 y＝ax2(a＞0) 向上 (0,0) y轴 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数 当x＝0时， y＝ax2(a＜0) 向下 (0,0) y轴 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数 当x＝0时， 【微点拨】函数 中的系数a对函数图象的影响： (1)当a＞0时，开口向上，a越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增； (2)当a＜0时，开口向下，a的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减． 2．二次函数 的图象和性质 (1)二次函数 的图象和性质如下表： 函数 二次函数 图象 a＞0 a＜0 性质 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向上，并向下无限延伸 对称轴是直线 ， 顶点坐标是 对称轴是直线 ， 顶点坐标是 在区间 上是减函数， 在区间 上是增函数 在区间 上是增函数， 在区间 上是减函数 抛物线有最低点，当 时， y有最小值， 抛物线有最高点，当 时， y有最大值， (2)配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它． 对任何二次函数 都可通过配方化为： ． 其中 ， ． (3)关于配方法要注意两点： ①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数； ②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)． 3．二次函数的解析式 (1)一般式： ． (2)顶点式： ，顶点(h，k)． (3)交点式： ，x1，x2为二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标． 求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之． 【微点拨】 ①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式 ，a、b、c为常数，a≠0的形式． ②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式 ，其中顶点为(h，k)，a为常数，且a≠0． ③若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求二次函数为交点式 ，a为常数，且a≠0． 4．二次函数的图象画法与平移 (1)二次函数 的图象的画法： 因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下： (i)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴； (ii)求抛物线 与坐标轴的交点． 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象． 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D．由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后连线，画出二次函数的图象． (2)二次函数的平移规律． 任意抛物线 都可转化为 的形式，都可由 的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示． 即上述平移规律“h值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”． 5．二次函数的最值求解 二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解． (1)从函数的解析式来研究，对于 ，通过配方可化为 的形式，再对 进行研究． 一般地，对于二次函数 ， 当a＞0时，y有最小值 ； 当a＜0时，y有最大值 ． (