第08讲一元二次方程的应用（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第8讲 一元二次方程的应用 知识一、二次三项式的因式分解 1.二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 2.用公式法分解 二次三项式的方法步骤： （1）求二次三项式所对应的一元二次方程的两个根、; （2）将求得的、的值代入因式分解公式中. 当，方程没有实数根，在实数范围内不能分解因式。 题型探究 【例1】若方程的两个根是，，则在实数范围内分解因式____________． 【答案】 【解析】根据公式．得该式可分解为 【例2】在实数范围内分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）(x-4)(x+7)；（4）(x-5)(x-6). 【解析】（1）原式=； （2） 原式=； （3） 令=0，解得x1=4,x2=-7,得原式=(x-4)(x+7); （4）令=0，解得x1=5,x2=6,得原式=(x-5)(x-6). 【例3】（1）实数范围内因式分解：________． 【答案】 【解析】 令， 解得， ∴=， 故答案为：． （2）在实数范围内因式分解：________. 【答案】 【解析】 当0， 解得：x1=，x2=， ∴． 故答案为：． （3）在实数范围内因式分解：__________． 【答案】 或 【解析】 解：令， 解关于xy的一元二次方程得：xy= ∴. 故答案为：或 【例4】下列二次三项式中，在实数范围内一定能分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：选项A，＝0，△＝4−4×2＝−4＜0，方程没有实数根，即在实数范围内不能分解因式； 选项B，＝0，△＝1−8=-7＜0，方程没有实数根，即在实数范围内不能分解因式； 选项C，＝0，△＝m2+4＞0，方程有两个不相等的实数根，即在实数范围内能分解因式； 选项D，＝0，△＝m2-4的值可能小于0，方程可能没有实数根，即在实数范围内不一定能分解因式， 故选：C． 举一反三 1．下列二次三项式不能在实数范围内因式分解的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 A. ∵对于=0，∆=4-4=0， ∴二次三项式能在实数范围内因式分解 B. ∵对于=0，∆=4+4=8>0， ∴二次三项式能在实数范围内因式分解 C. ∵对于=0，∆=9-40=-31<0， ∴二次三项式不能在实数范围内因式分解 D. ∵对于=0，∆=25-24=1>0， ∴二次三项式能在实数范围内因式分解 故选C. 2．在实数范围内因式分解：（1）______；（2）______. 【答案】 【解析】 解：（1）0的解是x1=，x2=， 所以可分解为： ； （2）0的解是x1=y，x2=y， 所以可分解为：． 故答案为：；． 知识二、一元二次方程的实际应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤是∶"审、设、列、解、检、答" . 1."审"指读懂题目，审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系，这一步是解决问题的基础， 2."设"是指元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么，设什么;间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要，恰当灵活设元直接影响列方程与解方程的难易. 3."列"是列方程，是重要的一步，根据间题情境找出题目中的等量关系，列出含有未知数的等式，即方程. 4."解"就是求出所列方程的解、 5."检"就是解应用题既要检验有无增根，又要检验是否符合题解. 6."答"就是书写答案，但要注意 ，求出解后，要进行检验. 注意：实际问题的解，不仅要满足所列方程，还应符合实际间题的具体题意，因此，求出方程的解后，—定要进行检验，以确定问题的答案。 列一元二次方程解决实际问题的常见题型∶ （1）平均增长（降低）率问题（包括百分率、折旧率、利息率）;（2）营销问题;（3）面积间题;（4）数字问题;（5）传播问题；（6）利用一元二次方程解有关的几何问题;（7）开放题型的讨论. 注意∶（1）为了便于计算，可以直接设增长的百分率为 x. （2）弄清"基数"，"增长了"，"增长到"等词语的关系，这里"增长数=基数×增长率，实际数=基数＋增长数".（3）解方程时用直接开平方法，不要将括号打开;注意方程两根的取舍问题. 题型探究 【例5】（传播问题） 1.比赛问题∶解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 . 2.传播问题∶a（1+x）n=A，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数. （1）（2021·广西百色市·八年级期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人