第07讲一元二次方程根的判别式（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第7讲 一元二次方程根的判别式 知识一、一元二次方程根的判别式 一元二次方程： （1） 当时，方程有两个不相等的实数根， 方程的根是，， （2） 当时，方程有两个相等的实数根， 方程的根是， （3）当时，方程没有实数根. 我们把叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“” 题型探究 【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况 （1）；（2） 【答案】（1）方程没有实数根；（2）方程有两个相等的实数根. 【解析】 解：（1）∵一次函数中，，，； ∴， ∴方程没有实数根 （2）∵一次函数中，，，； ∴， ∴方程有两个相等的实数根. 【例2】关于的方程（其中是实数）一定有实数根吗？为什么？ 【答案】一定有实数根. 【解析】因为所以方程一定有实数根. 举一反三 1.（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·九年级期末）一元二次方程根的情况是（ ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 解：， 这里a＝3，b＝−5，c＝2， b2−4ac＝（−5）2−4×3×2＝25-24=1＞0， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 2.方程x2﹣x﹣1＝0的判别式的值等于___． 【答案】5 【解析】 解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5． 故答案为：5． 3.不解方程，判断下列方程根的情况： （1）； （2）． 【答案】（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程没有实数根 【解析】 （1） ∵△=（-2）2-4×1×1=0， ∴此方程有两个相等的实数根． （2） 方程可变形为5x2-2x+1=0， ∵△=（-2）2-4×5×1=-16＜0， ∴此方程没有实数根． 知识二、一元二次方程根的判别式的应用 1.根的判别式判断根的情况： （1）当方程有两个不相等的实数根， ； （2）当方程有两个相等的实数根，； （3）当方程没有实数根，. 2.利用根的判别式解题大致有以下三种： （1）a，b，c 都是已知数，判断方程根的情况就是先算出判别式 b²-4ac 的值，再做结论. （2）a，b，c 中含有字母，证明方程有或无实数根，这种解题应先求出b²-4ac 的表达式，然后对这个表达式进行恒等变形，使之符合题目要求，说明符合的性质，再做结论， （3）题中给出了一元二次方程根的情况，求待定系数a，b，c 的值或取值范围，这时可根据题目的要求，由根的判别式组成方程或不等式求出结果. 题型探究 【例3】当k为何值时，关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x=-k2+2k+3 （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等实数根；（3）无实根 【答案】（1）k＞-；（2）k=-；（3）k＜- 【解析】 解：原方程可化为x2-（2k-1）x+k2-2k-3=0， ∴a=1， b=-（2k-1），c =k2-2k-3 △=4k+13 （1）令4k+13＞0∴k＞- ∴当k＞-时，一元二次方程有两个不相等的实数根； （2） 令4k+13=0∴k=- ∴当k=-时，一元二次方程有两个相等实数根； （3） 令4k+13＜0∴k＜- ∴当k＜-时，一元二次方程无实根 【例4】（2020·上海外国语大学附属双语学校八年级期中）已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根． （2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求方程的解． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 解：（1）根据一元二次方程的定义，可知：m≠0， = = = = ∴无论m为任意实数，方程总有实数根； （2）由题意可得=1 即=1 整理，得 ∴ 解得：m1=2，m2=0（不符合题意，舍去） 将m=2代入一元二次方程，得 解得：． 举一反三 1．（2021·江苏淮安市·九年级期末）下列一元二次方程有两个不相等实数根的是（ ） A．x2＋3＝0 B．x2＋2x＋3＝0 C．（x＋1）2＝0 D．（x＋3）（x﹣1）＝0 【答案】D 【解析】 解：A.、x2＋3＝0，， ∴该方程没有实数根，不符合题意； B、x2＋2x＋3＝0，， ∴该方程没有实数根，不符合题意； C、（x＋1）2＝0，即，， ∴该方程有两个相等实数根，不符合题意； D、（x＋3）（x﹣1）＝0，即，， ∴该方程有两个不相等实数根，符合题意； 故选：D． 2．（2021·广西中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【解析】 解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2， ∴， ∴方程有两个不相等实数根． 故选A. 3.（2021·上海九年级二模）如果关于的方程有实