第06讲一元二次方程的解法（2）（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第6讲 一元二次方程的解法（2） 知识一、因式分解法 1.因式分解法的定义：运用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解法. 2.因式分解法的理论依据是：若两个因式的积等于零，则这两个因式中至少有一个等于零.将一元二次方程分解成 A·B=0，则A=0或 B=0. 3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤∶ （1）将方程右边化为零; （2）将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积; （3）令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程; （4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【备注】 在解一元二次方程时，要根据方程的具体形式，选择简便的解法.通常情况下，公式法可以作为检验结果是否正确的方法. 题型探究 【例1】用因式分解法解下列方程： (1). （2）13x= x2十+36. (3)8x(x+5)-3(x+5)=0. （4）. (5)3(x+1)2-(2x+1)2=0. （6）x²-2mx-4n²十m²=0（m，n为常数）. 【答案】（1）；（2）x1 =4，x2=9；（3）x1= -5,；（4）； （5）；（6）x1=m-2n 或x2=m＋2n. 【解析】（1）显然，，得所以，原方程的根是 .（2）原方程即 x2-13x+36=0，得(x-4)(x-9)=0，即 x-4=0或x-9=0，得 x=4 或.x=9，所以，原方程的根是 x1 =4，x2=9. （3）方程左边提取公因式 x+5，得（x+5）（8x-3）=0，即x+5=0或8x-3=0，得x= -5或.所以，原方程的根是x1= -5, （4）方程左边进行十字相乘法分解因式，得，即 得 ，所以，原方程的根是 （5）方程左边用平方差公式分解因式，得 则 即 分别解这两个一元一次方程，得 所以，原方程的根是. （6）（x²-2mx+m²）-4n2=0，得（x-m）2-4n2=0. [(x-m)+2n][(x-m)-2n]=0，即x-m+2n=0或x-m-2n=0， 解这两个方程，得x1=m-2n 或x2=m＋2n，所以，原方程的根是x1=m-2n 或x2=m＋2n. 举一反三 1.因式分解法解方程： （1）； （2） 【答案】（1），；（2）， 【解析】 （1）因式分解，得：， 得：或， ，． （2）化为一般式为：， 因式分解，得： 得：或， ，． 知识二、配方法 1. 定义:先把方程中的常数项移到方程右边，把左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求出一元二次方程的根的解法叫配方法. 2.配方法是数学解题中的一种重要的思想方法，它不仅在解一元二次方程方面有所应用，而且在其他数学问题方面的应用也极为广泛. 3.配方法的理论依据是完全平方公式;a2±2ab+b2=(a±b)2，. 4.用配方法解一元二次方程 ax2+bx＋c=0（a≠0）的一般步骤: （1）先把二次项系数化为 1：方程左右两边同时除以二次项的系数； （2）移项，把常数项移到方程右边； （3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成(x+m)2=n的形式； （4）当 n≥0 时，用直接开平方的方法解变形后的方程. 题型探究 【例2】用配方法解一元二次方程. 【答案】 【解析】 解： 移常数项 两边配上一次项系数一半的平方 转化为的形式 转化为的形式 解得 求解 所以原方程的根是. 举一反三 1．（2020·上海市育才初级中学八年级期中）用配方法解方程： 【答案】， 【解析】 解：， 系数化为1得：， 配方得：， 即：， 两边同时开平方得：， 即，． 2．（2020·上海市格致初级中学）用配方法解方程：x2+2x＝4． 【答案】x1＝﹣+3，x2＝﹣﹣3． 【解析】 解：x2+2x＝4， x2+2x+5＝4+5，即（x+）2＝9， ∴x+＝±3， ∴x1＝﹣+3，x2＝﹣﹣3． 3.用配方法解方程：． 【答案】 【解析】 故答案为：． 知识三、公式法 1. 一般地，对于一元二次方程 ax²＋bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0 时， 它的解是.这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用公式直接解一元二次方程的方法叫做公式法. 【备注】（1）由公式法解一元二次方程知，其根是由系数a，b，c决定的，只要确定 a，b，c 的值在b2-4ac≥0 的前提下代入求根公式，即可求出方程的解. （2）任何一个一元二次方程都能用公式法求解，求根公式是处理一元二次方程的主要工具之一，应用时，要先将方程化为一般式，然后确定