第05讲一元二次方程的概念与解法（1）（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第5讲一元二次方程的概念与解法（1） 知识一、一元二次方程的概念 1.整式方程 方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程，如我们以前学过的—元一次方程和我们将要学习的一元二次方程都是整式方程. 2.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的较式方程叫做一元二次方程，如 x²-2=0，2x²一19x+24=0，x2一 2x=-x等都是一元二次方程. 【备注】（1）一元二次方程属于整式方程，定义中的"只有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2"这句话，是指对方程"整理合并"之后而言的， （2）由一元二次方程的概念可知，只有同时满足三个条件;①方程两边都是关于未知数的整式;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是 2，这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程. （3）判断一个方程是否为一元二次方程时，先观察其是否属于整式方程，再看其合并同类项后是否符合"只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2". 题型探究 【例1】判断下列各式是一元二次方程的是________． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】②③⑥ 【解析】 解：①不是方程； ②是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④ 不是整式方程，故不是一元二次方程； ⑤ 含有2个未知数，不是一元方程； ⑥；是一元二次方程； ⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程. ∴②③⑥符合一元二次方程的定义． 故答案为：②③⑥． 【例2】关于x的方程是一元二次方程，则a＝____． 【答案】1 【解析】 解：∵方程是一元二次方程， ∴a²+1＝2且a+1≠0， ∴a＝±1且a≠﹣1， ∴a＝1， 故答案为：1． 知识二、一元二次方程的一般式 任何一个关于的一元二次方程都可以化成的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般式.其中叫做二次项，是二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项. 【说明】（1）a≠0 是一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，因为方程 ax²＋bx＋c=0，只有当 a≠0时才叫做一元二次方程，反之，如果明确指出方程ax²＋bx＋c=0是一元二次方程，那就隐含了a≠0 这个条件，即是说方程中含有字母系数的 x²项，且出现"关于x 的方程"这样的语句，就要对方程中的字母进行讨论，这一点很重要，它是重要的考点之一. （2） 任何一个一元二次方程经过整理（去分母，去括号，移项，合并同类项）都可化成一元二次方程的一般形式，但需指出的是一元二次方程的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数都是针对方程的一般形式而言的，所以即使题目没有指出先把方程化成一般形式，只要求写出方程的项和基一项系数，解题时也要把一元二次方程化成一般形式. （3）注意区分二次项与二次项系数，一次项与一次项系数，它们都包含前面的符号，如 4x2-3x-2=0，二次项为 4x²，二次项系数为 4，一次项为-3x，一次项系数为-3，常数项为-2. 题型探究 【例3】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）． 【答案】（1），二次项系数是3、一次项系数是、常数项是2；（2）化为，二次项系数是a、一次项系数是1、常数项是 【解析】 解：（1）∵化为一般形式为， ∴二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为2； （2）∵化为一般形式为 ， ∴二次项系数为a，一次项系数为1，常数项为-a-2． 举一反三 1．若方程是关于的一元二次方程，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意，得 解得：m=3或m=－3 而当m=－3时，m+3=0，此时方程不是一元二次方程，不符合题意，应舍去 所以m=3 故选：B． 2．下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 解：A、是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、方程＝x2 −4，整理得：6x＋4＝0，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（1）当k________时，关于x的方程是一元二次方程； （2）当k________时，上述方程是一元一次方程． 【答案】 【解析】 （1）依题意：k2-1≠0， ∴ k≠±1． 故答案为： （2）依题意：k2-1＝0，且k-1≠0，可得k＝-1． 故答案为． 4．把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中各项与各项的系数. （1） ； （2） 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 解：（1）一般形式为：，二次项：，二次项系数：2，一次项：，一次项