专题2.4扬州卷（压轴9道+变式45道）-【冲刺2022】之2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练

【冲刺2022】之2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练 专题2.4扬州卷（压轴9道+变式45道） 说明：本专辑精选了2021年扬州卷失分较多和难度较大的题目9道，分别是第7题一次函数的计算问题、第8题反比例函数的性质问题、第17题相似三角形的性质与计算问题、第18题图形的变化规律问题、第24题四边形的计算与证明问题、第25题圆的有关计算与证明问题、第26题二次函数压轴问题、第27题材料阅读综合问题、第28题函数应用综合问题，每道题精讲精析，配有变式练习各5道，扬州模拟变式训练题共45道. 【压轴一】一次函数的计算 【真题再现】（2021•扬州）如图，一次函数y＝x的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（　　） A． B．3 C．2 D． 【思路点拨】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可． 【详析详解】解：∵一次函数y＝x的图像与x轴、y轴分别交于点A、B， 令x＝0，则y，令y＝0，则x， 则A（，0），B（0，）， 则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°， ∴AB2， 过点C作CD⊥AB，垂足为D， ∵∠CAD＝∠OAB＝45°， ∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x， ∴ACx， ∵旋转， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2CD＝2x， ∴BDx， 又BD＝AB+AD＝2+x， ∴2+xx， 解得：x1， ∴ACx（1）， 故选：A． 【方法小结】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形． 【变式训练】 【变式1.1】（2021•江阴市模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（t，3）、（t，0），点D是直线y＝kx+1与y轴的交点，点B在直线y＝kx+1上，若点A关于直线y＝kx+1的对称点A′恰好落在四边形OABC内部（不包括正好落在边上），则t的取值范围为（　　） A．﹣2＜t＜2 B．﹣2t＜2 C．﹣2t＜﹣2或2＜t＜2 D．以上答案都不对 【分析】根据条件，可以求得点A关于直线BD的对称点A′的坐标，再根据A′在图形中的位置，得到关于t的方程组 【解答】解：∵点B（t，3）在直线y＝kx+1上， ∴3＝kt+1，得到，于是直线BD的表达式是， 于是过点A（0，3）与直线BD垂直的直线解析式为（两直线垂直斜率之积为﹣1）． 联立方程组，解得，则交点M． 根据中点坐标公式可以得到点A′， ∵点A′在长方形ABCO的内部， ∴，解得或． 本题答案：或． 故选：C． 【点评】该题涉及直线垂直时“k”之间的关系；直线的交点坐标与对应方程组的解之间的关系；中点坐标公式需要熟悉．计算量较大． 【变式1.2】（2021•招远市一模）有下列四个函数：①y＝2x②yx③y④y＝﹣（x）2，其中图象经过如图所示的阴影部分（包括边界）的函数有（　　） A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个 【分析】根据题目中的函数解析式和性质，可以判断是否符合题意，从而可以解答本题． 【解答】解：在函数y＝2x中，当x＝1时，y＝2，故①符合题意； 函数yx的图象经过二、四象限，故②不符合题意； 函数y经过一、三象限，当x＝2时，y＝2，故③符合题意； 函数y＝﹣（x）2的图象开口向下，对称轴是直线x当x＝1时，y3，当x＝2时，y3，故④不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用它们的性质解答． 【变式1.3】（2020秋•梁溪区期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A、B分别在x轴上和函数y＝x的图象上，AB＝4，CB⊥AB，BC＝2，则OC的最大值为（　　） A．22 B．24 C．2 D．22 【分析】如图，以AB为斜边向上作等腰直角△ABD，连接OD，CD．求出OD，CD，根据OC≤OD+CD，可得结论． 【解答】解：如图，以AB为斜边向上作等腰直角△ABD，连接OD，CD． ∵点B在直线y＝x上， ∴∠BOA＝45°， ∵∠ADB＝90°，AD＝BD，AB＝4， ∴AD＝DB＝2，∠ABD＝45°， ∵∠BOA∠BDA， ∴点O在以D为圆心，DA为半径的⊙D上， ∴DO＝DA＝DB＝2， ∵CB⊥AB， ∴∠CBD＝45°， ∵BD＝2，BCAB＝2， ∴∠DCB＝90°， ∴CD＝CB＝2， ∵OC≤OD+CD， ∴OC≤22， ∴