专题03 集合章节考点复习巩固-【必考锦集】2021-2022学年高一数学同步考点锦集（北师大版必修1）

专题03集合章节考点复习巩固 【学习目标】 1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 2．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 3．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 4．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一：集合的基本概念 1．集合的概念 一般地，我们把研究对象统称为元素，如1～10内的所有质数，包括2，3，5，7，则3是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素，把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合。 2．元素与集合的关系 （1）属于： 如果 是集合A的元素，就说 属于A，记作 ∈A。要注意“∈”的方向，不能把 ∈A颠倒过来写. （2）不属于：如果 不是集合A的元素，就说 不属于集合A，记作 。 3．集合中元素的特征 （1）确定性：集合中的元素必须是确定的。任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素； （2）互异性：集合中的任意两个元素都是不同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现。 （3）无序性：集合与组成它的元素的顺序无关。如集合{1，2，3}与{3，1，2}是同一个集合。 4．集合的分类 集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类： 有限集：含有有限个元素的集合。 无限集：含有无限个元素的集合。 【微点拨】 把不含有任何元素的集合叫做空集，记作 ，空集归入有限集。 考点二：集合间的关系 1．(1)子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A B，对于任何集合A规定 。 (2) 如果A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记做. 两个集合A与B之间的关系如下： 其中记号 （或 ）表示集合A不包含于集合B（或集合B不包含集合A）。 2．子集具有以下性质： （1）A A，即任何一个集合都是它本身的子集。 （2）如果 ， ，那么A=B。 （3）如果 ， ，那么 。 （4）如果 ， ，那么 。 3．包含的定义也可以表述成：如果由任一x∈A，可以推出x∈B，那么 （或 ）。 不包含的定义也可以表述成：两个集合A与B，如果集合A中存在至少一个元素不是集合B的元素，那么 （或 ）。 4．有限集合的子集个数： （1）n个元素的集合有2n个子集。 （2）n个元素的集合有2n－1个真子集。 （3）n个元素的集合有2n－1个非空子集。 （4）n个元素的集合有2n－2个非空真子集。 【微点拨】 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．换言之，任何集合至少有一个子集． 考点三：集合的基本运算 1．用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”的意义，“或”是两个皆可的意思，“且”是两者都有的意思，在使用时不要混淆。 2．用维恩图表示交集与并集。 已知集合A与B，用阴影部分表示A∩B，A∪B，如下图所示。 3．关于交集、并集的有关性质及结论归结如下： （1）A∩A=A，A∩ = ，A∩B=(B∩A) A（或B）； A∪A=A，A∪ =A，A∪B=(B∪A) A（或B）。 （2） ； 。 （3）德摩根定律： 。； ； （4） ； 。 4．全集与补集 （1）它们是相互依存不可分离的两个概念。把我们所研究的各个集合的全部元素看成是一个集合，则称之为全集。而补集则是在 时，由所有不属于A但属于U的元素组成的集合，记作 。数学表达式：若 ，则U中子集A的补集为 。 （2）补集与全集的性质 ① ② ， 。 ③ ， 。 5．空集的性质 空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有 ， ； ； ； 。 【典型例题】 类型一：集合的含义与表示 例1．选择恰当的方法表示下列集合。 （1）“mathematics”中字母构成的集合； （2）不等式 的解集； （3）函数 的自变量的取值范围。 【点拨】集合的表示有两种形式，我们必须了解每种方法的特点，选择最佳的表达形式。 【解析】（1） ； （2） 或 （3） 或 【总结】正确选择、运用列举法或描述法表示集合，关键是确定集合中的元素。然后根据元素的数量和特性来选用恰当的表示形式。 【变式1】将集合 表示成列举法，正确的是（ ） A.{2，3} 　 B.{（2，3）} 　 C.{x=2，y=3} 　 D.（2，3） 【答案】B 【变式2】已知集合 ∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为 （ ） Ａ．0　　　　Ｂ．1　　　　Ｃ．2　　　　　Ｄ．3 【答案】Ｃ 例2．若含有三个元素的集合可表示为 ，也可以表示为 ，求 的值。 【点拨】由集合中元素的确定性和互异性可解得。