第四章 指数函数、对数函数与幂函数 -2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末总结 【要点归纳】 一、指数与指数运算 1．根式的概念 2.两个重要公式 (1) ＝ (2)(有意义)．)n＝a (a必须使 3．分数指数幂的意义 (1)a(a>0，m、n∈N*，n>1)．) )＝) ＝ (a>0，m、n∈N*，n>1)；(2)a) ＝ 4．实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈R)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)． 二、指数函数及其性质 1.指数函数的概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．说明：形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数． 2．指数函数的图像和性质 底数 a>1 0<a<1 图像 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图像过定点(0,1)，即x=0时，y=1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上是增函数 函数在定义域R上是减函数 三、对数与对数运算 1．对数的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．由此可得对数式与指数式的互化：ax＝N⇔logaN＝x. 2．对数的性质 对于a>0，a≠1，有下列结论： (1) 负数和零没有对数； (2) loga1＝0，logaa＝1. (3) 对数恒等式 (N>0)． 3．对数的换底公式 换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 四、对数函数及其性质 1.对数函数的概念:函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图像和性质 a>1 0<a<1 图像 性质 函数的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞) 函数图像恒过定点(1，0)，即恒有loga1＝0 当x>1时，恒有y>0； 当0<x<1时，恒有y<0 当x>1时，恒有y<0； 当0<x<1时，恒有y>0 函数在定义域(0，＋∞)上为增函数 函数在定义域(0，＋∞)上为减函数 五、幂函数的图像特征及性质： 1．幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布． 2．当α＞0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数． 3．当α＜0时，幂函数的图像，过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴． 4．当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数． 【考点整合】 【考点一】 指数、对数的运算 【典型例题1】 (1)若xlog23＝1，则3x＋9x的值为(　　) A．6　　　　　　　　 B．3 C. D. (2)已知2a＝5b＝c，＝1，则c＝________.＋ 【解析】 (1)由xlog23＝1得x＝log32,所以3x＋9x＝ ＝2＋4＝6. (2)由2a＝5b＝c，得a＝log2c，b＝log5c，＝logc2＋logc5＝logc10＝1，所以c＝10.＋＝＋ 【答案】 (1)A　(2)10 【归纳总结】 1．指数的运算 (1)要注意化简的顺序，一般负指数先转化为正指数，根式先化为分数指数幂． (2)若出现分式，则要注意分子、分母因式分解，以达到约分的目的． (3)进行指数运算时，需要注意根式的两个重要结论以及运算性质的灵活应用． 2．对数的运算 (1)要注意公式应用过程中范围的变化前后要等价． (2)要注意对数的三个运算法则及对数恒等式、换底公式的灵活应用． (3)底数相同的对数式化简时常用方法： ①“拆”：将积(商)的对数拆成同底的对数的和(差)； ②“收”：将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数． 【考点二】 函数图像与性质 【典型例题2】 当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2) C．(1,2] D. 【解析】 如图所示：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可，当0<a<1时显然不成立． 当a>1时，如图