第24章 相似三角形（典型题专练）-2021-2022学年九年级数学期中期末考试满分全攻略（沪教版）

第24章 相似三角形典型题专练 一、单选题 1．（2019·上海九年级月考）如图，在中，，，．点P是边AC上一动点，过点P作交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分时，AP的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：，，， ， ， ，又， ， ， ， ， ， ，即， 解得，， ， 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 2．（2019·上海）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝， 点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案． 解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F， ∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=， ∴∠ABD=∠ADB=45°， ∴∠CDF=90°-∠ADB=45°， ∵sin∠ABD=， ∴AE=AB?sin∠ABD=2?sin45°=2?=2＞， 所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个， ∵sin∠CDF=， ∴CF=CD?sin∠CDF=?=1＜， 所以在边BC和CD上没有到BD的距离为的点， 所以P到BD的距离为的点有2个， 故选B．此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案． 二、填空题 3．（2017·上海九年级期中）如图，在中，点在上，请再添加一个适当的条件，使与相似，那么要添加的条件是__________．(只填一个即可) 【答案】或 【分析】已知与的公共角相等， 根据两角对应相等的两个三角形相似再添加一组对应角相等即可. 【详解】解：（公共角） （或） （两角对应相等的两个三角形相似） 故答案为：或 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 4．（2020·上海上外附中）如图所示，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16 cm.点P从点A出发沿AB向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？ 【答案】0.8或2 【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP与AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】设经过x秒后△PBQ和△ABC相似． 则AP=2x cm，BQ=4x cm． ∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=（8﹣2x）cm，分两种情况讨论： ①BP与BC边是对应边，则=，即=，解得：x=0.8； ②BP与AB边是对应边，则=，即=，解得：x=2． 综上所述：经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似． 故答案为0.8或2． 【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边BP、BQ的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错． 5．（2018·上海九年级期中）如图，BD是四边形ABCD的对角线，，，点、分别是和的重心，则点、间的距离为_． 【答案】2 【分析】取BD的中点G，连接AG，CG，AC，根据点、分别是和的重心，得到在AG上，在CG上，求得，根据相似三角形的性质得到，根据已知条件得到是等边三角形，求得，于是得到结论． 【详解】解：取BD的中点G，连接AG，CG，AC， 点、分别是和的重心， 在AG上，在CG上， ， ， ∽， ， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案为2． 【点睛】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．（2020·上海上外附中）如图，四边形是三个正方形、__________ 【答案】90º 【分析】根据正方形的性质得∠1=45°，先求出线段AD、AF、AH的长度（用a表示），求出两个三角形对应边的比，进而证明△ADF∽△HDA，问题即可解决． 【详解】由已知得∠1=45° 设正方形的边长为a， 则AD=， ∵，， ∴， ∵∠ADF=∠ADH ∴△ADF∽△HDA， ∴∠3=∠DAF， ∵∠DAF+∠2=45°， ∴∠3+∠2=45° ∴． 故答案为90º． 【点睛】该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其应用问