第三章 函数的概念与性质知识总结

第三章 函数的概念与性质 1.一般函数定义域的求法 列出是函数有意义的自变量的不等式（组），求解即可得到函数的定义域．常涉及的依据有： （1）为整式时，定义域为R； （2）为分式时，定义域为使分母不为零的实数的集合； （3）如果为0次幂或负指数幂型函数，那么定义域为使得幂底数不等于零的全体实数； （4）为二次根式（偶次根式）时，定义域为使被开方数非负的实数的集合； （5）如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么他的定义域是各基本函数定义域的交集； （6）由实际问题建立的函数，其定义域还要符合实际意义． 2．复合函数定义域的求法 （1）函数的定义域是指的取值范围所组成的集合； （2）函数的定义域还是指的取值范围，而不是的取值范围； （3）已知的定义域是A，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为A，求出的取值范围； （4）已知的定义域为B，求的定义域，其实质是已知中的取值范围为B，求出的取值范围（值域），此范围就是的定义域； （5）同在对应关系“”下的范围相同，即三个函数中的的范围相同． 3．求函数值域常用的方法 （1）直接法； （2）换元法； （3）配方法； （4）判别式法； （5）分离常数法； （6）图象法； （7）不等式法； （8）函数单调性法． 4．函数解析式的求法 （1）已知函数类型，求函数解析式可以用待定系数法来求解，先设函数解析式，然后根据已知条件求解相关参数； （2）已知求或已知求，一般采用换元法或配凑法； （3）消去法：已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于及的方程组，解得； （4）赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式． 5．函数单调性的判定方法 （1）定义法，步骤：取值、作差、定号、判断； （2）图象法，根据函数图象的升降情况进行判断； （3）直接法，运用已知的结论，直接得到函数的单调性． 6．求复合函数单调性的步骤 （1）将复合函数分解成，； （2）分别确定这两个函数的定义域和单调区间； （3）若两个函数在对应的区间上单调性同增或同减，则为增函数；若一増一减，则为减函数． 7．函数奇偶性的判定方法 （1）定义法：用定义判定（证明）函数奇偶性的一般步骤：首先确定函数的定义域，验证函数定义域是否关于原点对称．若否，函数是非奇非偶函数，若是，继续判断之一是否成立．若则为偶函数，若则为奇函数，若都不成立，则函数是非奇非偶函数，若都成立，则函数既是奇函数，又是偶函数．也可以利用等价命题判断，即（或）是奇函数；（或）是偶函数． （2）图象法：图像关于原点对称是奇函数；图像关于y轴对称是偶函数． （3）性质法：在定义域的公共部分内，两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数；两个奇函数的积（商）为偶函数；两个偶函数之积（商）为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数（注：取商时应使分母不为0）． 8．复合函数的奇偶性 对于复合函数，若为偶函数，为偶函数，则为偶函数；若为奇函数，为奇函数，则为奇函数；若为奇函数，为偶函数，则为偶函数；若为偶函数，为奇函数，则为偶函数． 9．奇、偶函数的几个重要结论 （1）在保证定义域关于原点对称的前提下，函数、与的奇偶性相同． （2）若是具有奇偶性的单调函数，则奇（偶）函数在正负对称的区间上单调性是相同（反）的，简称“奇同偶异”． （3） 的定义域关于原点对称，则是偶函数，是奇函数． （4）若的定义域关于原点对称，则可以表示成如下形式：，这个式子的特点是：右边是一个偶函数与一个奇函数的和．所以任意一个定义域关于原点对称对称的函数都可以写成一个偶函数与一个奇函数的和． 10.幂函数的定义域和值域 （1）时，的定义域为，值域为； （2）为正整数时，的定义域为,为偶数时，值域为；为奇数时，值域为； （3）为负整数时，的定义域为，为偶数时，值域为；为奇数时，值域为； （4）当为正分数时，化为，根据，的奇偶性求解； （5）当为负分数时，化为，根据，的奇偶性求解. 11.判断幂函数奇偶性的方法 令（其中，互质，，）. （1）若是奇数，则的奇偶性取决于是奇数还是偶数.当是奇数时，是奇函数；当是偶数时，是偶函数. （2）若是偶数，则必是奇数，此时既不是奇函数，也不是偶函数. 类型一：函数的概念及性质 例1．设定义在R上的函数y= f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于，且，则有 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以，画出y= f（x）的图象，数形结合知，只有选项D正确． 【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图