4.1 数列-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（苏教版2019选择性必修第一册）

4.1 数列 提示：本卷题型为8（单选）+4（多选 ）+4（填空）+6（解答） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．数列0， ， ， ，…的一个通项公式为（ ） A．an＝ (n∈N*) B．an＝ (n∈N*) C．an＝ (n∈N*) D．an＝ (n∈N*) 【答案】C 【分析】 根据所给的四项可知分子是从0开始的偶数，分母比分大1，从而可求得通项 【详解】 解：由0， ， ， ，…可知各项的分子是从0开始的偶数，分母比分大1， 所以它的一个通项公式可以为 ， 故选：C 2．数列 中， ，则 等于（ ） A．900 B．9902 C．9904 D．10100 【答案】B 【分析】 利用累加法求出数列的通项公式，再代入计算可得； 【详解】 解：因为 ，所以 ，所以 所以 故选：B 3．已知数列 的前n项和为 ， ，则当 取最小值时，n的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】 根据题意，由数列的通项公式可得当 时，有 ，当 时，有 ，据此分析可得答案. 【详解】 根据题意，数列 中， ， 当 时，有 ，当 时，有 ， 则当 时， 最小， 故选：B 4．已知数列 满足 ， 是数列 的前 项和，则（ ） A． 不是定值， 是定值 B． 不是定值， 不是定值 C． 是定值， 不是定值 D． 是定值， 是定值 【答案】A 【分析】 分别令 ，得到4个式子，从而可得 ， ，进而可求出 和 【详解】 当 ，则 ， ， 当 ，则 ， ， ∴ ， ， ， 作差得 ，∴ ， ∴ 为定值. 而 不为定值. 故选：A. 5．若 为常数） ，且数列 为单调递增数列，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先判断 在 时恒成立，代入化简得 在在 时恒成立，再计算 ，即得结果. 【详解】 因为数列 为单调递增数列，所以 ，在 时恒成立. 所以 ， 即 在在 时恒成立，而 时， ， 所以 . 故选：D. 6．已知数列 满足 ， ( ， )，则数列 的通项 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接利用累乘法的应用求出数列的通项公式． 【详解】 解：数列 满足 ， ， 整理得 ， ， ， ， 所有的项相乘得： ， 整理得： ， 故选： ． 7．已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则数列 的最大值为（ ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】D 【分析】 由 先求出 ，从而得出 ，由 讨论出其单调性，从而得出答案. 【详解】 当 时， ； 由 ，当 时， ， 两式相减，可得 ， 解得 ，当 时，也符合该式，故 ． 所以 由 ，解得 ；又 ，所以 ，所以 ，当 时， ，故 ，因此最大项为 ， 故选：D． 8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（ ） A． B． C．当 为偶数时， D．当 为奇数时， 【答案】B 【分析】 直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式 ，代入数列的具体值即可判断出各个选项． 【详解】 解：其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50， ， 则数列的通项公式为： ， 所以 ， ， 当 为偶数时， ， 当 为奇数时， ． 故选：B． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列四个选项中，不正确的是（ ） A．数列 ， 的一个通项公式是 B．数列的图象是一群孤立的点 C．数列1， ，1， ， 与数列 ，1， ，1， 是同一数列 D．数列 ， ， 是递增数列 【答案】ACD 【分析】 由 可判断A；由数列的通项公式以及 可判断B；由数列定义可判断C； 由递减数列定义可判断D． 【详解】 对于A，当通项公式为 时， ，不符合题意，故选项A错误； 对于B，由数列的通项公式以及 可知，数列的图象是一群孤立的点，故选项B正确； 对于C，由于两个数列中的数排列的次序不同，因此不是同一数列，故选项C错误； 对于D，数列 ， ， 是递减数列，故选项D错误． 故选：ACD． 10．数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0)，a1＝ ，an＋4Sn-1Sn＝0(n≥2)，则下列命题正确的是（ ） A．S