第一章空间向量与立体几何【真题模拟练】-2021-2022学年高二数学单元复习过过过（人教A版2019选择性必修第一册+第二册）

第一章 空间向量与立体几何 真题模拟练 1．【2021年天津17】如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 2．【2021年浙江19】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 3．【2021年北京17】已知正方体，点为中点，直线交平面于点． （1）证明：点为的中点； （2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 4．【2021年新高考2卷19】在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 5．【2021年全国甲卷理科19】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 6．【2021年新高考1卷20】如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 7．【2021年全国乙卷理科18】如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 8．【2020年全国1卷理科18】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 9．【2020年全国2卷理科20】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. （1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. 10．【2020年全国3卷理科19】如图，在长方体中，点分别在棱上，且，． （1）证明：点在平面内； （2）若，，，求二面角的正弦值． 11．【2020年山东卷20】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 12．【2020年江苏卷15】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点． （1）求证：EF∥平面AB1C1； （2）求证：平面AB1C⊥平面ABB1． 13．【2020年江苏卷24】在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值． 14．【2020年浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC． （I）证明：EF⊥DB； （II）求DF与面DBC所成角的正弦值． 15．【2020年天津卷17】如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 16．【2020年北京卷16】如图，在正方体中，E为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值． 17．【2020年海南卷20】如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 18．【2020年上海卷17】已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱． （1）求该圆柱的表面积； （2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至ABC1D1，求线段CD1与平面ABCD所成的角． 19．【2019年新课标3理科19】图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2． （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小． 20．【2019年天津理科17】如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2． （Ⅰ）求证：BF∥平面ADE； （Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角E