第二章 一元二次函数、方程和不等式同步课堂单元测试（解答题提升版）-2021-2022学年高一数学单元专项培优复习（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式同步课堂单元测试 【解答题提升版】 一、解答题 1．（1）已知，均为正实数．试比较与的大小； （2）已知且，试比较与的大小． 2．（1）若，，求，的取值范围； （2）已知，满足，，求的取值范围． 3．已知，，试比较与的大小． 4．设实数，满足，，求的最大值． 5．（1）设，且恒成立，求的取值范围； （2）记，若对任意的，恒有，请求出的取值范围. 6．求下列函数的最值 （1）求函数的最小值. （2）若正数，满足，求的最小值. 7．（1）若，求的最小值及对应的值； （2）若，求的最小值及对应的值． 8．已知为正数，求证：. 9．已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）当的解集为，求的最小值. 10．若不等式对x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $第二章 一元二次函数、方程和不等式同步课堂单元测试 【解答题提升版】 一、解答题 1．（1）已知，均为正实数．试比较与的大小； （2）已知且，试比较与的大小． 【答案】（1），（2）当时，；当且时，；当时，． 【分析】 （1）利用“作差法”，可得， （2）利用“作差法”，通过对分类讨论即可得出． 【详解】 （1），均为正实数， ， 即， （2）． ①当时，，． ②当且时，，． ③当时，，． 综上所述，当时，； 当且时，； 当时，． 2．（1）若，，求，的取值范围； （2）已知，满足，，求的取值范围． 【答案】（1）， ；（1）. 【分析】 （1）根据，得到，同理由，得到，再利用不等式的基本性质加法和乘法求解. （2）设，利用待定系数法求得m，n再根据，求解. 【详解】 （1）因为，所以， 因为，所以， 所以，； 所以的取值范围是；的取值范围是； （2）设， 则， 解得， 所以， 又因为，， 所以， 所以的取值范围是 【点睛】 本题主要考查不等式的基本性质的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 3．已知，，试比较与的大小． 【答案】当时，；当时，. 【分析】 利用作差法得出，然后分和两种情况讨论，判断出的符号，进而可得出与的大小关系. 【详解】 . 因为，，所以，，得 当时，；当时，. 【点睛】 本题考查两数大小比较，常利用作差法，作差之后所采取的变形技巧为通分、配方、有理化、因式分解等步骤，一般变形之后要将代数式转化为若干因式相乘或相除的形式，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 4．设实数，满足，，求的最大值． 【答案】 【分析】 利用待定系数法，令，求得，然后利用不等式的性质，求得的最大值. 【详解】 令，则， 所以，解得， 所以， 由题意得， 所以， 所以. 故的最大值为. 故答案为： 【点睛】 本小题主要考查利用不等式的性质求最值，属于中档题. 5．（1）设，且恒成立，求的取值范围； （2）记，若对任意的，恒有，请求出的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由题意可得，原不等式等价于，由基本不等式求出的最小值，即得到的取值范围； （2）由恒成立可得恒成立，由基本不等式求出的最小值，即可得到的取值范围． 【详解】 （1）由，知，所以原不等式等价于.要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于即可. 因为，当且仅当，即时等号成立，所以，即的取值范围为； （2）由，得.因为，所以恒成立，所以小于或等于的最小值.又，当且仅当时等号成立，所以，即的取值范围为. 6．求下列函数的最值 （1）求函数的最小值. （2）若正数，满足，求的最小值. 【答案】（1）；（2）5. 【分析】 （1）化为，再根据基本不等式可求出结果； （2）化为，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】 （1），当且仅当即时等号成立， 故函数的最小值为. （2）由得， 则， 当且仅当,即，时等号成立， 故的最小值为5. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 7．（1）若，求的最小值及对应的值； （2）若，求的最小值及对应的值． 【答案】（1）最小值为5，；（2）最小值为，． 【分析】 （1）化简，再利用基本不等式求解； （2）化简，再利用基本不等式求解. 【详解】 （1）因为，所以， 当且仅当即时等号成立，函数取最小值5； （2） 当且仅当即时等号成立，函数取最小值. 8．已知为正数，求证：. 【答案】见解析 【分析】 根据基本不等式可求得的