3.3 抛物线-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（苏教版2019选择性必修第一册）

3.3 抛物线 提示：本卷题型为8（单选）+4（多选 ）+4（填空）+6（解答） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．抛物线 上一点 到焦点F的距离为3，则p值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 由抛物线的定义可知， ，与已知条件结合，求解 的值． 【详解】 解：由抛物线的定义可知， ， ， ，所以 ， 故选： ． 2．已知F是抛物线 的焦点，过点F且斜率为 的直线交抛物线于A，B两点，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 求出直线方程，联立直线方程与抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出 的值． 【详解】 解： ，故直线 的方程为 ， 联立方程组 ，可得 ， 设 ， ， ， ，由根与系数的关系可知 ， ． 由抛物线的定义可知： ， ， ． 故选：A． 3．若抛物线 的准线为 ， 是抛物线上任意一点，则 到准线 的距离与 到直线 的距离之和的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 过点 作 ，垂足为点 ，过点 作直线 的垂线段 ，垂足为点 ，计算出点 到直线 的距离 ，由抛物线的定义可得 ，利用当 、 、 三点共线可求得 的最小值. 【详解】 如下图所示，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作直线 的垂线段 ，垂足为点 ， 抛物线 的准线为 ，焦点为 ， 点 到直线 的距离为 ， 由抛物线的定义可知 ，所以， ， 当且仅当 、 、 三点共线时，等号成立， 因此， 到准线 的距离与 到直线 的距离之和的最小值是 . 故选：A. 4．双曲线 离心率为 ，其中一个焦点与抛物线 的焦点重合，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由抛物线的方程求得焦点坐标，得到双曲线的半焦距 的值，结合双曲线的离心率求得 的值. 【详解】 抛物线 的焦点坐标为(3,0). ∴双曲线 （ ）的一个焦点的坐标为(3,0)， 故有双曲线的半焦距 再根据双曲线的离心率 ，可得 , 故选：A. 5．已知直线 与抛物线 相交于 、 两点，若 的中点为 ，且抛物线 上存在点 ，使得 （ 为坐标原点），则 的值为（ ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】 联立直线与抛物线可求出中点 的坐标，由题干条件可得出 ，从而求出 点坐标，又点 在抛物线上，代入抛物线方程可求出 值. 【详解】 解：设 ，联立 得： ，解得： ，因为 为 的中点，所以 ， 又因为 ，所以有 ，即 ，点 在抛物线上，代入可得 ，解得： . 故选：B. 6．不垂直于坐标轴的直线 与双曲线 的渐近线交于 ， 两点，若线段 的中点为 ， 和 的斜率满足 ，则顶点在坐标原点 ，焦点在 轴上，且经过点 的抛物线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 运用点差法得到 得解 【详解】 设 ，则 ， 相减得， ，所以 ， 即 ，所以 ， ．由题意设抛物线方程是 ，则 ．于是所求抛物线方程是 ． 故选：C． 7．设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点 作 的垂线，垂足为 .设 ， 与 相交于点 .若 ，且 的面积为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 如图所示， ．由于 轴， ， ，可得 ， ．利用抛物线的定义可得 ，代入可取 ，再利用 即可得出． 【详解】 解：如图所示， ， ． 所以 ． 轴， ， ，所以四边形 为平行四边形， ， ． ，解得 ，代入 可取 ， ， 解得 ． 故选： ． 8．已知 是抛物线 ： EMBED Equation.DSMT4 的焦点，直线 与抛物线 相交于 ， 两点，满足 ，记线段 的中点 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设 ，过点 ， 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 ，进而得 ，再结合余弦定理得 ，进而根据基本不等式求解得 . 【详解】 解：设 ， 过点 ， 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为 ， 则 ， 因为点 为线段 的中点， 所以根据梯形中位线定理得点 到抛物线 的准线的距离为 ， 因为 ， 所以在 中，由余弦定理得 ， 所以 ， 又因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ，故 . 所以 的最大值为 . 故选：C 【点睛】 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，余弦定理，基本不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，设 ，进而结合抛物线的定于与余弦定理得 ， ，再求最值. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项