第15讲 二次函数的解析式与应用-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第15讲二次函数的解析式与应用 知识一、一般式y = ax2 + bx + c ( a≠0 ) 一般式（） （1）任何二次函数都可以整理成一般式（）的形式； （2）如果已知二次函数的图像上三点的坐标，可用一般式求解二次函数的解析式． 题型探究 【例1】已知二次函数的图像经过点A（，）、B（0，）和C（1，1）． 求这个二次函数的解析式． 【答案】． 【解析】设二次函数为，把A、B、C代入二次函数解析式，可得： ，解得． 所以这个二次函数的解析式：． 【例2】已知二次函数图像经过点（0，3）、（3，0）、（，）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求这个二次函数的最值． 【答案】（1）；（2）函数有最大值，最大值为． 【解析】（1）把（0，3）、（3，0）、（，）代入二次函数解析式，可得： ，解得，所以这个二次函数的解析式：； （2） ，则当时，函数有最大值，最大值为． 知识二、顶点式y=a(x+m)2+k ( a≠0 ) 顶点式：（） （1）任何二次函数经过配方都可以整理成（）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（，k）为抛物线的顶点坐标； （2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式； （3）对于任意的二次函数，都可以配方为：的形式． 题型探究 【例3】已知抛物线的顶点坐标为（4，），与y轴交于点（0，3），求这条抛物线的解 析式． 【答案】． 【解析】设抛物线解析式为，因为顶点坐标为（4，），所以， 所以，再把（0，3）代入，即得． 所以抛物线的解析式为：． 【例4】已知二次函数的图像过点（1，5），且当x = 2时，函数有最小值3，求该二次函 数的解析式． 【答案】． 【解析】∵当x = 2时，函数有最小值3，∴设二次函数解析式为， 把（1，5）代入函数解析式可得． ∴二次函数的解析式为：． 知识三、交点式y = a ( x – x1 ) ( x – x2 ) ( a≠0 ) ( a≠0 ) 交点式（两点式）（） （1）交点式：（），其中x1 ，x2为二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标； （2）已知二次函数与x轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式； （3）已知二次函数与x轴的交点坐标（x1，0）、（x2，0），可知其对称轴为； （4）根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点（x1，a）、（x2，a），如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为； （5）对于任意二次函数，当时，即，根据一元二次方程的求根公式可得：、； （6）对称式：（），当抛物线经过点（x1，k）、（x2，k）时，可以用对称式来求解二次函数的解析式． 题型探究 【例5】已知二次函数的图像经过点（，0）、（1，0），且与y轴的交点的纵坐标 为3，求这个二次函数的解析式． 【答案】． 【解析】∵二次函数的图像经过点（，0）、（1，0）， ∴设二次函数解析式为，把（0，3）代入，可得． ∴这个二次函数的解析式为：． 【例6】已知二次函数的图像经过点M（，0）、N（4，0）、P（1，） 三点，求这个二次函数的解析式． 【答案】． 【解析】∵二次函数的图像经过点M（，0）、N（4，0）， ∴设二次函数解析式为，把P（1，）代入，可得． ∴这个二次函数的解析式为：． 举一反三 1.抛物线的顶点坐标是（1，），则b = ______，c = ______． 【答案】-4；0． 【解析】设抛物线解析式为，因为顶点坐标为（1，），所以， 所以．故b = -4，c = 0． 2.如果，，，，那么抛物线经过第________象限． 【答案】一二三． 【解析】根据，可得开口向上；根据，可得对称轴在y轴左侧，根据，可得 与y轴交于正半轴，由，可得与x轴有两个交点，所以大致图像如下： 3.已知抛物线经过点A（2，3）、B（0，3）、C（4，）． （1）求该抛物线的解析式； （2）当x为何值时，？ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）把A（2，3）、B（0，3）、C（4，）代入二次函数解析式，可得： ，解得．所以抛物线的解析式为：； 方法二：也可以利用AB关于直线对称，设二次函数解析式为求解． （2）利用图像性质可得，当抛物线与直线交于点，故时，． 4.已知抛物线过点（3，2）、（0，5）两点，且以直线x = 2为对称轴，求此抛物线的解析式． 【答案】． 【解析】∵函数以直线x = 2为对称轴， ∴设二次函数解析式为，把点（3，2）、（0，5）代入， 可得， ∴． 5.已知二次函数的图像经过点（0，3）、（，0）、（2，），且与x轴交于A、B两点． （1）试确定该二次函数的解析式； （2）判定点P（，3）是否在这个图像上，并说明