第14讲 二次函数y=ax^2+bx+c的图像-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第14讲二次函数y=ax2++bx+c的图像 知识一、二次函数y = a(x + m)2 + k的图像 二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 题型探究 【例1】说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它是由抛物线通过怎样的平移得到的． 【答案】抛物线的开口向上、对称轴为直线、顶点坐标为， 由抛物线先向左平移一个单位，再向下平移3个单位得到． 【解析】抛物线，a=2>0,所以开口向上，m=-1，k=-3，则顶点坐标是（-1，-3），对称轴为直线x=-1，另外根据平移口诀：上加下减、左加右减，则由抛物线先向左平移一个单位，再向下平移3个单位得到． 【例2】已知二次函数. （1）画出函数图像的草图；（2）求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标； （3）根据图像，说出x取哪些值时，函数值y=0，y>0，y<0. 【答案】（1）图像见解析； （2）（3,0）（-1,0）（0,3） （3）x=3或-1时 y=0 -1＜x＜3时 y＞0 当x＜-1或x＞3时 y＜0 【解析】（1）图像如下： （2）当y=0时，，解得x1=3，x2=-1，则抛物线与x轴的交点坐标为（3,0），（-1,0），当x=0时，y=-1+4=3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0,3）. （3）当x=3或-1时 y=0 ；当 -1＜x＜3时 y＞0 ； 当x＜-1或x＞3时 y＜0. 举一反三 1.二次函数y＝（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　） A．向上，直线x＝4，（4，5） B．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5） C．向上，直线x＝4，（4，﹣5） D．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5） 【答案】D 【解析】 解：二次函数y＝（x+4）2+5， ∵ ∴该函数图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5）， 故选：D． 2.（2020·山东青岛市·九年级期末）将抛物线y＝x2先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为（ ） A．y＝（x﹣1）2﹣1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣1 【答案】C 【解析】 解：抛物线y＝x2先向左平移1个单位，再向上平移1上个单位得y＝（x+1）2+1． 故选：C． 3.（2019·上海市天山初级中学九年级期中）对于函数，下列结论正确的是（ ） A．在直线的左侧部分函数的图像是上升的 B．在直线的右侧部分函数的图像是上升的 C．在直线的左侧部分函数的图像是上升的 D．在直线的右侧部分函数的图像是上升的 【答案】D 【解析】 函数中, 所以此抛物线开口向上，因为对称轴的右侧部分函数的图像是上升的，故选：D. 4.（2021·重庆巴蜀中学九年级月考）在抛物线图象上有三点，则的大小关系是_______ 【答案】 【解析】 解：在二次函数，对称轴， 在图象上的三点，，，，， ， 则、、的大小关系为：． 故答案为：． 5.已知二次函数的图像在直线的左侧部分是下降的，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 二次函数的图象在直线的左侧部分是下降的， 即在直线的左侧部分，y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 6.当两条曲线关于某直线对称时，我们把这两条曲线叫做关于直线的对称曲线，如果抛物线与抛物线关于直线的对称曲线，那么抛物线的表达式为_______________________． 【答案】 【解析】 解：， ∴顶点坐标是， 点关于直线对称的点是， ∴． 故答案为：． 7.（2021·云南九年级期末）已知二次函数的图像以点为顶点，且过点． （1）求该函数的解析式； （2）直接写出随的增大而增大时自变量的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设二次函数的解析式为． 由题知：，，则， 又∵二次函数图像过点 ∴， ∴． ∴二次函数的解析式为：． （2）由（1）知当时，随的增大而增大． 知识二、二次函数的图像 1.配方法 = 由此可见：函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移得到. 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是（）. 当时，开口向上，顶点为最低点（最小值）；当时，开口向下，顶点为最高点（最大值）. 2.二次函数图象的画法 （1）描点法（五点绘图法）： 步