第13讲 特殊二次函数的图像（2）-【A+课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第13讲特殊二次函数的图像（2） 知识一、二次函数y=ax2+c的图像 二次函数的图像 （1）抛物线的对称轴是轴，顶点（0，c）； （2）时，抛物线+c开口向上；在对称轴的左边，曲线自左向右下降，在对称轴的右边，曲线自左向右上升；顶点是抛物线上位置最低的点. （3）时，抛物线+c开口向下；在对称轴的左边，曲线自左向右上升，在对称轴的右边，曲线自左向右下降；顶点是抛物线上位置最高的点. （4）+c与的图像形状相同，只是位置不同，他们彼此可以通过平移得到. （5）把的图像向上或向下平移个单位，即得到+c的图像. 题型探究 【例1】 在同一平面直角坐标系中，画出函数、和的图像，并将图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】如图： 【解析】略． y O x 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 【例2】说出下列函数的图像如何由抛物线平移得到，再分别指出图像的开口方向、 对称轴和顶点坐标． （1）； （2）． 【答案】（1）向上平移两个单位；开口向上，对称轴轴，顶点坐标； （2）向下平移一个单位；开口向上，对称轴轴，顶点坐标． 【解析】二次函数的图像可以通过将抛物线向上（时）或向下 （时）平移个单位得到．抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 故（1）向上平移两个单位；开口向上，对称轴轴，顶点坐标； （2）向下平移一个单位；开口向上，对称轴轴，顶点坐标． 【总结】本题考查抛物线的平移，做题的关键是理解平移口诀“左加右减，上加下减”． 【例3】抛物线，，共有的性质是（ ） A．开口向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．顶点相同 【答案】B． 【解析】抛物线开口向上，对称轴是轴，有最低点，顶点坐标； 抛物线开口向下，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标； 抛物线开口向上，对称轴是轴，有最高点，顶点坐标． 【例4】将抛物线的图像绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是 _____________． 【答案】． 【解析】抛物线顶点坐标为，绕原点O旋转180°后，旋转后抛物线顶 点为，开口方向相反，∴旋转后解析式为． 【例5】如图，已知二次函数与反比例函数，它们在同一直角坐标系中 的图像大致是（ ） x y O x y O x y O x y O A． B． C． D． 【答案】A． 【解析】当时，抛物线开口向上，顶点为，在轴正半轴上，反比例函数 过第二、四象限； 当时，抛物线开口向下，顶点为，在轴负半轴上，反比例函数过 第一、三象限． 【例6】若函数的图像经过点（0，1），（1，2），求2a + b的值． 【答案】． 【解析】把（0，1），（1，2）分别代入得，解得，∴． 举一反三 1.（上海宝山区·九年级期末）抛物线的开口方向（ ） A．向上； B．向下； C．向左； D．向右； 【答案】B 【解析】由题意分析可知抛物线的a<0,其开口方向是向下，故选B； 2.（2021·陕西九年级其他模拟）抛物线的顶点坐标为______． 【答案】（0，2） 【解析】 ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为（0，2）， 故答案为：（0，2） 3.（2021·上海）如果二次函数的图像上有两点和，那么_____（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 解：∵点（2，y）、（4，y）是二次函数y=（x-1）图象上的两点， ∴y=（2-1）=1；y=（4-1）=3=9， ∴y<y， 故答案为y< y． 4.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）已知抛物线是由抛物线向下平移2个单位得到的，则a=________，b=_______． 【答案】3 -2 【解析】 解：∵抛物线的顶点坐标是（0，b），∴向下平移2个单位后的坐标为：（0，b-2）， ∵平移后抛物线的解析式为，∴a=3，抛物线的解析式为的顶点坐标是(0,-4)． ∴b-2=-4，则b=-2, 故答案为：3，-2． 5.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）当m=______时抛物线开口向下，对称轴是________，在对称轴左侧部分是________的（填“上升”或“下降”）． 【答案】 y轴 上升 【解析】 解：由题意得，且， 解得，且， ∴， 对称轴是轴， ∵ ∴在对称轴左侧部分是上升； 故答案是：，轴，上升． 6.（2020·上海市静安区实验中学九年级课时练习）形状与抛物