第一章 特殊平行四边形（能力提升）-2021-2022学年九年级数学上册单元测试定心卷（北师大版）

2021-2022学年九年级数学上册单元测试定心卷（北师大版） 第一章 特殊平行四边形（能力提升） 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置. 1、 选择题（12小题，每小题3分，共36分） 1．在平行四边形ABCD中，添加下列条件能够判定平行四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB⊥BC D．AC＝BD 【答案】A 【分析】 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定，即可求得答案． 【详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故选：A． ． 【点睛】 本题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 2．如图，在正方形 中，等边三角形 的顶点 ， 分别在边 和 上，则 （ ） A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】 根据题意直接证明 ，进而得 ，可知 ，结合等边三角形的条件，即可求得 ． 【详解】 四边形 是正方形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在 和 中 ， （HL）， ， ， ， 又 ， ， ， 故选C． 【点睛】 本题考查了HL证明直角三角形全等，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练以上性质是解题的关键． 3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直且相等 【答案】B 【分析】 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【详解】 平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 4．如图，在Rt△ABC中，D是AB的中点，AB＝10，则CD等于（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 根据直角三角形斜边上的中线得出CD＝ AB，再代入求出答案即可． 【详解】 解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝ AB， ∵AB＝10， ∴CD＝5， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质． 5．如图，有一架梯子斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，在墙角（点O处）有一只猫紧紧盯住位于梯子（AB）正中间（点P处）的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，若梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离（ ） A．不变 B．变小 C．变大 D．无法判断 【答案】A 【分析】 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可解答． 【详解】 如图，连接OP， 由题意可知：点P为AB的中点，∠AOB= ， 在 中， ， 若梯子A端沿墙下滑，且梯子B端沿地面向右滑行．在此滑动过程中，OP始终等于AB的一半，故OP的长不变，即猫与老鼠的距离不变． 故选：A 【点睛】 本题主要考查了直角三角形形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形形斜边中线的性质，并会利用数学建模思想． 6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为（　　） A．4 B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】 由矩形的性质得出OB=OC，由等腰三角形的性质得出BE=CE，证出OE是△ABC的中位线，得出AB=2OE=2，证出△ABE是等腰直角三角形，得出BE=AB=2，BC=2BE=4，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BAD=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴OB=OC， ∵OE⊥BC， ∴BE=CE， ∴OE是△ABC的中位线， ∴AB=2OE=2， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴BE=AB=2， ∴BC=2BE=4， ∴ ， 故选：B． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 7．如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处．若 ，则 的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据折叠的性质以及矩形的性质，可知 ， ，结合已知根据直角三角形两锐角互余