第三节 幂函数-2022年高考数学一轮复习同步备课学案+题型考点分析+课时训练+真题演练

题型考点分析　第三节 幂函数 【考点一】 幂函数的概念 【典型例题1】 函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． 【解析】　根据幂函数定义得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数； 当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3. 【答案】 f(x)＝x3 【归纳总结】 1．只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数． 2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…，形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式． 【考点二】 幂函数的图像和性质 【典型例题2】 (1)幂函数y＝f(x)的图像过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图像是(　　) (2)若(a＋1)，则实数a的取值范围是________．<(3－2a) (3)已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋3) 的a的取值范围．<(5－2a) 【解析】　(1)设幂函数的解析式为y＝xα， 因为幂函数y＝f(x)的图像过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝. 所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 当0<x<1时，其图像在直线y＝x的上方，对照选项，故选C. (2)易知函数y＝x.解得－1≤a<的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以 (3)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，所以m＝1,2.因为函数的图像关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1，则原不等式可化为(a＋3) .或a<－3，a的取值范围为(－∞，－3)∪<a<在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a＋3>5－2a>0或5－2a<a＋3<0或a＋3<0<5－2a，解得.因为y＝x<(5－2a) 【答案】　(1)C　(2). (3) (－∞，－3)∪ 【归纳总结】 幂函数的性质 (1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过点(1,1)． (2)若α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．当0<α<1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上． (3)若α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内为双曲线形，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴；当x趋于＋∞时，图像在x轴上方无限地逼近x轴． 【考点三】 幂函数单调性的应用 【典型例题3】 比较下列各组数的大小 (1) 3.与－；(2)－8与3.1 【解析】　(1)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数， 又3<3.1，所以3.>3.1 (2)－8，>，则>在(0，＋∞)上为增函数，又，函数y＝x＝－ 从而－8.<－ 【答案】 (1) 3<－ (2)－8>3.1 【归纳总结】 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数． 【考点四】 幂函数性质的综合应用 【典型例题4】 已知幂函数，其中，且为奇函数. （1）求的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. （3）求函数，的最值，并求出取得最值时的的值（其中）. 【解析】　（1）由为幂函数，则，解得或， 又为奇函数，即，则为奇数， 综上，有. （2）由（1）知：，则，又单调递增， ∴，则对任意的恒成立， 由，则， ∴，即， ∴. （3）由题意，，， ∴令，则， ∴当，即时，；当，即时，；当，即时，； 综上，时，时. 【答案】 （1）；（2）；（3）有最小值，有最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 【真题演练】 第三节 幂函数 1．(2021·北京昌平区月考)已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝(　　) A．－1　 B．2 　 C．－1或2 D． 【解析】　由于函数f(x)是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1．当m＝2时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，舍去；当m＝－1时，f(x)＝x－1在(0，＋∞)上单调递减．故选A． 【答案】 A 2．(2021·福州模拟)若二次函数y＝x2＋ax＋1对于一切x∈恒有y≥0成立，则a的最小值是(　　) A．0　 B．2 　 C．－ D．－3 【