第十二章 小专题(三) 添加辅助线证明三角形全等的常见题型（课时作业）-2021-2022学年八年级数学上册【课时A计划】人教版（安徽）

小专题(三)　添加辅助线证明三角形全等的常见题型 在几何解题中,常常需要添加辅助线构造全等三角形,添加辅助线常见类型有以下几种:(1)直接连线构造全等三角形;(2)倍长中线构造全等三角形;(3)作垂线段构造全等三角形;(4)截取法构造全等三角形;(5)延长法构造全等三角形.添加辅助线时要结合已知条件和图形,将已知条件转化到两个三角形中,根据全等三角形判定的方法,能证明两个三角形全等,真正起到“牵线搭桥”的作用. 类型1　直接连线构造全等三角形 1.如图,BA⊥AC,CD⊥DB,AC与BD相交于点O,AC＝DB.求证:BA＝CD. 证明:连接BC. ∵BA⊥AC,CD⊥DB,∴∠A＝∠D＝90°. 在Rt△ABC和Rt△DCB中, ∴△ABC≌△DCB(HL),∴BA＝CD. 2.如图,AB＝AD,BC＝DC,E,F分别是DC,BC的中点.求证:AE＝AF. 证明:连接AC. 在△ACD和△ACB中, ∴△ACD≌△ACB(SSS),∴∠ACE＝∠ACF. ∵BC＝DC,E,F分别是DC,BC的中点,∴CE＝CF. 在△ACE和△ACF中, ∴△ACE≌△ACF(SAS),∴AE＝AF. 类型2　倍长中线构造全等三角形 3.如图,在△ABC中,D为BC的中点. (1)求证:AB＋AC>2AD; (2)若AB＝5,AC＝3,求AD的取值范围. 解:(1)延长AD至点E,使DE＝AD,连接BE. ∵D为BC的中点,∴CD＝BD. 又∵AD＝ED,∠ADC＝∠EDB, ∴△ADC≌△EDB,∴AC＝BE. ∵AB＋BE>AE,∴AB＋AC>2AD. (2)∵AB－BE<AE<AB＋BE, ∴AB－AC<2AD<AB＋AC. ∵AB＝5,AC＝3,∴2<2AD<8,∴1<AD<4. 4.如图,AB＝AE,AB⊥AE,AD＝AC,AD⊥AC,M为BC的中点,求证:DE＝2AM. 证明:延长AM至点N,使MN＝AM,连接BN. ∵M为BC的中点,∴BM＝CM. 又∵AM＝MN,∠AMC＝∠NMB,∴△AMC≌△NMB(SAS), ∴AC＝BN,∠C＝∠NBM, ∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD. ∵AD＝AC,AC＝BN,∴AD＝BN. 又∵AB＝AE,∴△ABN≌△EAD(SAS), ∴DE＝AN. 又∵AM＝MN,∴DE＝2AM. 类型3　作垂线段构造全等三角形 5.如图,在△ABC中,∠C＝90°,AD平分∠BAC交BC于点D,BD∶CD＝2∶1,BC＝7.8 cm,求点D到AB的距离. 解:过点D作DE⊥AB于点E. ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD＝∠BAD. ∵DE⊥AB,DC⊥AC,∴∠C＝∠AED＝90°. ∵AD＝AD,∴△ACD≌△AED(AAS), ∴CD＝DE. 又∵BD∶CD＝2∶1,BC＝7.8,∴DE＝CD＝2.6, ∴点D到AB的距离为2.6 cm. 类型4　截取法构造全等三角形 6.如图,AD是△ABC的角平分线,且AB>AC,E为AD上任意一点. 求证:AB－AC>EB－EC. 证明:在AB上截取AF＝AC,连接EF. ∵AD是△ABC的角平分线,∴∠FAE＝∠CAE. 在△AEF与△AEC中, ∴△AEF≌△AEC(SAS), ∴EF＝EC,在△BEF中,EB－EF<BF, 而BF＝AB－AF＝AB－AC, ∴EB－EC<AB－AC, 即AB－AC>EB－EC. 7.如图,在四边形ABDE中,C是BD边的中点.若AC平分∠BAE,∠ACE＝90°,猜想线段AE,AB,DE的长度满足的数量关系并证明. 解:AE＝AB＋DE. 理由:在AE上取一点F,使AF＝AB,连接CF. ∵AC平分∠BAE,∴∠BAC＝∠FAC. 在△ACB和△ACF中, ∴△ACB≌△ACF(SAS), ∴BC＝FC,∠ACB＝∠ACF. ∵C是BD边的中点,∴BC＝CD,∴CF＝CD. ∵∠ACE＝90°, ∴∠ACB＋∠DCE＝90°,∠ACF＋∠ECF＝90°, ∴∠ECF＝∠ECD. 在△CEF和△CED中, ∴△CEF≌△CED(SAS),∴EF＝ED. ∵AE＝AF＋EF,∴AE＝AB＋DE. 类型5　延长法构造全等三角形 8.如图,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF分别交AB,AC于点E,F.求证:BE＋CF>EF. 证明:延长ED至点G,使DG＝DE,连接CG,FG. ∵DE⊥DF,∴∠GDF＝∠EDF＝90°. ∵DG＝DE,DF＝DF, ∴△EDF≌△GDF(SAS),∴EF＝GF. 在△EDB与△GDC中, ∴△EDB≌△GDC(SAS),∴BE＝CG. 在△FCG中,CG＋CF>GF,即BE＋CF>EF. 1 / 3 $