第十一章 小专题(一) 利用三角形的三边关系解决六类问题（课时作业）-2021-2022学年八年级数学上册【课时A计划】人教版（安徽）

小专题(一)　利用三角形的三边关系解决六类问题 三角形的三边关系:三角形任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边,这是三角形最基本的性质,在数学解题中有着广泛的应用.常见的考查类型有:(1)判断三条线段能否组成三角形;(2)根据已知线段确定三角形的个数;(3)已知三角形的两边长,求第三边的长或取值范围;(4)确定等腰三角形的边长;(5)证明线段之间的不等关系;(6)三角形的三边关系在代数中的应用.考查三角形的三边关系的应用时,通常与一元一次不等式(组)相结合求解,解题过程中要注意分类讨论思想的应用. 类型1　判断三条线段能否组成三角形 1.以下列各组线段长为边,能组成三角形的是( D ) A.1 cm,2 cm,3 cm B.2 cm,3 cm,8 cm C.5 cm,12 cm,6 cm D.4 cm,6 cm,9 cm 2.判断下列所给的三条线段能否组成三角形. (1)5,5,a(0<a<10); (2)三条线段的长度之比为2∶3∶5. 解:(1)∵0<a<10,∴5＋5>a,5－5<a, ∴能组成三角形. (2)设三条线段的长度分别为2k,3k,5k. ∵2k＋3k＝5k,∴不能组成三角形. 类型2　根据已知线段确定三角形的个数 3.以长度为5 cm,7 cm,9 cm,13 cm的线段中的三条为边,能组成三角形的情况有( B ) A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 4.边长为整数并且最大边长是5的三角形共有　9　个.  5.两条边长为10和4,另一条边长是整数的三角形一共有　7　个.  类型3　已知三角形的两边长,求第三边的长或 取值范围 6.一个三角形的边长分别为1,3,x,且x为整数,则此三角形的周长是　7　.  7.已知三角形的三边长是三个连续的奇数,且此三角形的周长小于30,求三边的长. 解:依题意,设三角形的三边长分别为x－2,x,x＋2(x为奇数), ∴解得4<x<10, 又x为奇数,∴x的值为5,7或9. 当x＝9时,三边的长分别为7,9,11;当x＝7时,三边的长分别为5,7,9;当x＝5时,三边的长分别为3,5,7. 8.已知木棒a的长度为35 cm,木棒b的长度为70 cm. (1)现要求选择第三根木棒c与木棒a,b首尾顺次连接组成一个三角形,请求出木棒c长度的取值范围; (2)有一根木棒长度为130 cm,现要求把其切割分为两根木棒d,e(木棒d,e的长度之和恰好为130 cm).若在a,d,e中任选2根木棒,它们与木棒b首尾顺次连接都能组成三角形,求木棒d长度的取值范围. 解:(1)根据三角形的三边关系,得70－35<c<70＋35, ∴木棒c长度的取值范围是35 cm<c<105 cm. (2)a＝35 cm,b＝70 cm,d ＋e＝130 cm. ①若a,d,b能组成三角形,则35 cm<d<105 cm; ②若a,e,b能组成三角形,则35 cm<e<105 cm, ∵d ＋e＝130 cm,∴35 cm<130－d<105 cm, ∴25 cm<d<95 cm; ③若d,e,b能组成三角形,则|e－b|<d<e＋b, 即|130－d－70|<d<130－d＋70,解得30 cm<d<100 cm. 综上所述,木棒d长度的取值范围为35 cm<d<95 cm. 类型4　确定等腰三角形的边长 9.一个三角形的两条边相等,周长为18 cm,其中一边长为4 cm,求其他两边的长. 解:①若4 cm为底边长, 则另外两边长均为×(18－4)＝7(cm); ②若4 cm为腰长, 则另一腰长为4 cm,底边长为18－4×2＝10(cm). ∵4＋4<10,∴此时不能构成三角形,舍去. 综上所述,其他两边的长分别为7 cm,7 cm. 类型5　证明线段之间的不等关系 10.如图,P为△ABC中任意一点.证明:AB＋BC＋CA>PA＋PB＋PC>(AB＋BC＋CA). 证明:延长BP交AC于点D. ∵在△ABD中,AB＋AD>PB＋DP, 在△DPC中,DP＋DC>PC, ∴AB＋AD＋DP＋DC>PB＋DP＋PC, ∴AB＋CA>PB＋PC. 同理CA＋BC>PA＋PB,AB＋BC>PA＋PC, ∴2AB＋2CA＋2BC>2PA＋2PB＋2PC, 即AB＋BC＋CA>PA＋PB＋PC. 又∵PA＋PB>AB,PB＋PC>BC,PC＋PA>CA, ∴2(PA＋PB＋PC)>AB＋BC＋CA, ∴PA＋PB＋PC>(AB＋BC＋CA), ∴AB＋BC＋CA>PA＋PB＋PC>(AB＋BC＋CA). 类型6　三角形的三边关系在代数中的应用 11.若三角形的三边长分别是2,x,10,且x是不等式<1－的正偶数解,试求该三角形的周长. 解:原不等式可化为5(x＋1)<20－4(1－x