第十一章 小专题(二) 与三角形的角平分线相关的几类题型（课时作业）-2021-2022学年八年级数学上册【课时A计划】人教版（安徽）

小专题(二)　与三角形的角平分线相关的几类题型 考查三角形的角平分线的性质,通常与三角形的内角和定理及推论相结合,求角的度数或探究角之间的数量关系.常见的考查类型有:(1)求三角形的两个内角平分线的夹角;(2)求三角形的一个内角平分线与一个外角平分线的夹角;(3)求三角形的两个外角平分线的夹角;(4)求三角形的角的n等分线夹角.解题过程中要注意利用从特殊到一般、列方程和整体思想的方法求解. 类型1　三角形的两个内角平分线的夹角 1.如图,△ABC的两条内角平分线BE,CD相交于点F,∠A＝62°,则∠BFC的度数为( C ) A.59° B.118° C.121° D.124° 2.[安庆太湖期中]如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB. (1)若∠A＝60°,则∠BOC的度数为　120°　;  (2)若∠A＝100°,则∠BOC的度数为　140°　;  (3)若∠A＝α,求∠BOC的度数. 解:(3)∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∠A＝α, ∴∠CBO＋∠BCO＝α, ∴∠BOC＝180°－(∠CBO＋∠BCO)＝180°－α. 类型2　三角形的一个内角平分线与一个外角平 分线的夹角 3.如图,在△ABC中,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,CE为外角∠ACD的平分线,交BO的延长线于点E,有下列结论:①∠1＝2∠2;②∠BOC＝3∠2;③∠BOC＝90°＋∠1;④∠BOC＝90°＋∠2.其中正确的结论是　①④　.(只填序号)  4.如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,且与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点D. (1)若∠ABC＝75°,∠ACB＝45°,求∠D的度数; (2)若把∠A截去(如图2),得到四边形MNCB,猜想∠D,∠BMN,∠CNM的关系,并说明理由. 解:(1)∵∠ACE＝∠A＋∠ABC,∠DCE＝∠D＋∠DBC, BD平分∠ABC,CD平分∠ACE, ∴∠ABD＝∠DBE,∠ACD＝∠DCE, ∴∠A＝2(∠DCE－∠DBC),∠D＝∠DCE－∠DBC,∴∠A＝2∠D. ∵∠ABC＝75°,∠ACB＝45°, ∴∠A＝60°,∴∠D＝30°. (2)∠D＝(∠BMN＋∠CNM－180°). 理由:易得∠A＝∠BMN＋∠CNM－180°. 由(1)知∠D＝∠A, ∴∠D＝(∠BMN＋∠CNM－180°). 类型3　三角形的两个外角平分线的夹角 5.如图1,在△ABC中,∠A＝60°,∠CBM,∠BCN是△ABC的外角,∠CBM,∠BCN的平分线BD,CD交于点D. (1)求∠BDC的度数; (2)过点D作DE⊥BD,垂足为D,过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F(如图2),求证:BF是∠ABC的平分线. 解:(1)∵在△ABC中,∠A＝60°, ∴∠ABC＋∠ACB＝120°. ∵∠ABM＝∠ACN＝180°, ∴∠CBM＋∠BCN＝240°. ∵∠CBM,∠BCN的平分线BD,CD交于点D, ∴∠CBD＝∠BCN, ∴∠CBD＋∠BCD＝(∠CBM＋∠BCN)＝120°, ∴∠BDC＝180°－120°＝60°. (2)∵DE⊥BD,BF∥DE, ∴∠DBF＝180°－90°＝90°,即∠CBF＋∠CBD＝90°, ∴∠ABF＋∠DBM＝90°. 又∵∠CBD＝∠DBM,∴∠ABF＝∠CBF, ∴BF是∠ABC的平分线. 类型4　三角形的角的n等分线夹角 6.(1)如图1,在锐角△ABC中,BD和BE三等分∠ABC,CD和CE三等分∠ACB,请分别写出∠A和∠D,∠A和∠E的数量关系,并选择其中一个说明理由; (2)如图2,在锐角△ABC中,BD和BE三等分∠ABC,CD和CE三等分外角∠ACM,请分别写出∠A和∠D,∠A和∠E的数量关系,并选择其中一个说明理由; (3)如图3,在锐角△ABC中,BD和BE三等分外角∠PBC,CD和CE三等分外角∠QCB,请分别直接写出∠A和∠D,∠A和∠E的数量关系. 解:(1)∠D＝60°＋∠A. 理由:∵BD和BE三等分∠ABC,CD和CE三等分∠ACB, ∴∠EBC＝∠ACB. ∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A, ∴∠EBC＋∠ECB＝∠A, ∴∠E＝180°－(∠EBC＋∠ECB)＝180°－∠A.(答案不唯一) (2)∠D＝∠A. 理由:∵BD和BE三等分∠ABC,CD和CE三等分外角∠ACM, ∴∠EBC＝∠ACM, ∴∠E＝∠ECM－∠EBC＝∠A.(答案不唯一) (3)∠D＝60°－∠A. 7.【问题背景】 (1)我们把如图1的图形称为“8字形”,请说明∠A＋∠B＝∠C＋∠D. 【简单应用】 (2)如图2,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠B＝36°,∠D＝16°,求∠P的度数. 【问题探