4.5 函数模型及其应用-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（湘教版2019必修第一册）

第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.5 函数模型及其应用 学习导航 1、 会利用已知函数模型求解实际问题。 2、 能自建确定性函数模型解决实际问题。 3、 了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性。 教学过程 一、几种函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 例题1 1．一等腰三角形的周长是，底边是关于腰长的函数，它的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据已知条件可得出函数解析式，结合三角形三边关系可得出的取值范围. 【详解】 依题意得，所以， 由三边形三边关系可得，即，解得. 因此，函数解析式为. 故选：D. 2、 用函数模型解决实际问题的基本步骤 1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． 3．求模——求解数学模型，得出数学模型． 4．还原——将数学结论还原为实际问题． 例题2 2．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，结合条件列式，根据，求的取值范围，即可得到的取值范围. 【详解】 设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元， 则. 要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，所以的取值为. 故选：A 课时训练 1．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为，则满足的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 分别求出二、三份的利润再求和即可. 【详解】 二、三月份利润的月增长率为， 则二月份获得利润为万元，三月份获得利润为万元， 依题意得：. 故选：D. 2．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：表示中午12：00，其后t取正值，则下午3时温度为（ ） A．8℃ B．78℃ C．112℃ D．18℃ 【答案】B 【分析】 根据题意将的值代入解析式，即可得答案； 【详解】 将的值代入解析式可得：， 故选：B. 【点睛】 本题考查函数的实际应用，考查阅读理解能力，属于基础题. 3．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示： x 1 2 3 … y 1 3 5 … 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据表中数据可判断函数为一次函数，将各数据代入，验证可得结论． 【详解】 解：根据表中数据可判断函数为一次函数， 将各数据代入中均成立， 故选：． 4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设原来森林蓄积量为a，要增长到原来的x倍，需经过y年，由题得y＝log1.104x，即得解. 【详解】 设原来森林蓄积量为a， ∵某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%， ∴一年后，森林蓄积量为a（1+10.4%） 两年后，森林蓄积量为a（1+10.4%）2， 经过y年，森林蓄积量为a（1+10.4%）y， ∵要增长到原来的x倍，需经过y年， ∴a（1+10.4%）y＝ax ∴1.104y＝x则y＝log1.104x. 由于函数是对数函数，，所以函数y＝f（x）的图象大致为D. 故选：D． 5．一辆匀速行驶的汽车行驶的路程为，则这辆汽车行驶的路程与时间之间的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据汽车匀速运动，确定车速，直接得出结果. 【详解】 由题意可知，汽车行驶的速度， 故． 故选：D． 6．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，