4.4 函数与方程-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（湘教版2019必修第一册）

第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.4 函数与方程 学习导航 1、 了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系。 2、 了解二分法的原理及其适用条件。 3、 掌握二分法的实施步骤。 教学过程 一、函数的零点 1、函数的零点 1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2、函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 例题1 1．函数的零点是（ ） A．(-1，0) B．x=0 C．-1 D．1 【答案】C 【分析】 根据函数零点的定义，令，即可求解. 【详解】 由题意，函数，令，即，解得， 即函数的零点为. 故选：C. 2、 用二分法求方程的近似解 1、二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2、用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间 (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点． (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c. (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 例题2 2．二分法求函数的零点的近似值适合于（ ） A．零点两侧函数值符号相反 B．零点两侧函数值符号相同 C．都适合 D．都不适合 【答案】A 【分析】 根据连续函数零点存在性定理即可求解. 【详解】 根据函数零点存在性定理知， 利用二分法求函数的零点，必须满足函数图象连续不断且在零点两侧函数值符号相反． 故选：A 课时训练 1．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】 　每一次等分，区间长度都变为原来的一半，故n次之后去见长度变为，由精确度的定义知道：只需由<0.01，得2n>10，所以n的最小值为4. 故选B. 2．用二分法找函数在区间上的零点近似值，取区间中点，则下一个存在零点的区间为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为； ； 又已知；所以； 所以零点在区间． 故选B 3．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A．x1 B．x2 C．x3 D．x4 【答案】C 【详解】 观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C. 4．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间，上，当时，函数的零点近似值与真实零点的误差最大不超过（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据函数的零点总位于区间，上，则由或求解. 【详解】 根据题意，函数的零点总位于区间，上，即，，零点近似值， 若，，则，即有； 同理当，时，也有； 综合可得：，函数的零点近似值与真实零点的误差最大不超过； 故选：B． 5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________．以上横线上应填的内容为( ) A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25) C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.05)，f(0.125) 【答案】A 【解析】 因为用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈(0,0.5)，第二次应计算中点值f(0.25)的函数值，然后依次进行判定即可选A 6．用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 令，根据零点存在性定理，以及二分法的概念，即可得出结果. 【详解】 令， 则， ， 用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是． 故选：C． 7．二次函数在上有两个零点，则函数在上的零点的个