4.1 实数指数幂和幂函数-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（湘教版2019必修第一册）

第4章 幂函数、指数函数和对数函数 4.1 实数指数幂和幂函数 学习导航 1、 理解n次方根、根式的概念。 2、 了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质。 教学过程 一、n次方根，根式 1、a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2、a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3、根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4、根式的性质 根式的性质是化简根式的重要依据 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)＝a(n为大于1的奇数)． (5)＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 例题1 1．若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（ ） ①当n为奇数时，x的n次方根为a； ②当n为奇数时，a的n次方根为x； ③当n为偶数时，x的n次方根为±a； ④当n为偶数时，a的n次方根为±x. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 根据xn＝a（x≠0），讨论n为奇数和n为偶数时，得出a的n次方根即可判断. 【详解】 n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于（±x）n＝xn＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的， 故选：B. 2、 分数指数幂 1．规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． 2．规定正数的负分数指数幂的意义是：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． 3．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 例题2 2．下列函数中哪个是幂函数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接利用幂函数的定义判断即可． 【详解】 解：幂函数是，， 显然，是幂函数. ，，都不满足幂函数的定义， 所以A正确． 故选：A． 【点睛】 本题考查了幂函数的概念，属基础题. 三、有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． (4)拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈Q)． 例题3 3．已知幂函数的图象过点，则（4）的值是（ ） A．64 B． C． D． 【答案】D 【分析】 设幂函数，结合已知条件求出的值，进而可以求出结果. 【详解】 幂函数的图象过点， ，解得， ， （4）， 故选：. 四、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质例题4 4．已知幂函数的图象过点，则的值为（　　） A．3 B．9 C．27 D． 【答案】C 【分析】 求出幂函数的解析式，然后求解函数值． 【详解】 幂函数的图象过点， 可得，解得， 幂函数的解析式为：， 可得（3）． 故选：． 课时训练 1．若幂函数的图象过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求出幂函数的解析式，从而可求出的值 【详解】 解：设幂函数， 因为幂函数的图象过点， 所以，解得， 所以， 所以， 故选：D 2．幂函数的图像经过点，则（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】 本题首先可以根据幂函数经过点求出以及，然后代入，即可得出结果. 【详解】 因为幂函数的图像经过点， 所以，解得，， 则， 故选：C. 【点睛】 本题考查幂函数的解析式的求法以及求幂函数值，考查幂的相关运算，考查计算能力，是简单题. 3．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（ ） A．16 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】 设幂函数，再将代入，求出函数的解析式，即可得答案； 【详解】 设幂函数， 将点代入得：，所以， 故． 故选：D. 【点睛】 本题考查求幂函数的函数值，考查运算求解能力，属于基础题. 4．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则f（2）＝（ ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】 利用待定系数法求出函数的解析式，再代入求值即可. 【详解】 设f（x）＝xa，因为幂函数图象过（4，2）， 则有2 ，∴a，即， ∴f（2） 故选：D 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，考查了求函数值，属于基础题. 5．下列函数中，不是幂函数的是（ ） A．y＝2x B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝x2 【答案】A 【分析】 根据幂函数的概念即可得结果. 【详解】 为指数函数； ，，为幂函数； 故选：A. 6．下列函数：①；②；③；