3.1 函数-2021-2022学年高一数学同步教与学全指导（学习导航+教学过程+课时训练）（湘教版2019必修第一册）

第3章 函数的概念与性质 3.1 函数 学习导航 1、 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。 2、 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。 3、 会判断两个函数是否为同一个函数.2.能正确使用区间表示数集。 4、 会求一些简单函数的值域。 5、 了解函数的三种表示法及各自的优缺点。 6、 会用解析法及图象法表示分段函数。 教学过程 一、函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 例题1 1．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（ ） ① ② ③ ④ A．①② B．①④ C．①②④ D．③④ 【答案】B 【分析】 根据函数的概念，集合的任何一个，在集合中都有唯一确定的和它对应，逐一检验即可得出正确答案. 【详解】 对于①和④，第一个集合中的数在第二个集合中都有唯一确定的数和它对应，符合函数的概念，故①④满足函数关系. 对于②：第一个集合中的1，4在第二个集合中无元素对应，不是函数关系； 对于③：第一个集合中的1，在第二个集合中都有两个数和它对应，出现一对多的情况，不是函数关系； 只有①④满足函数关系. 故选：B. 2、 区间 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 2、同一个函数 1．前提条件：(1)定义域相同；(2)对应关系相同． 2．结论：这两个函数为同一个函数． 3、常见函数的值域 1．一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. 2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为， 当a<0时，值域为. 例题2 2．集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求解不等式，用区间表示解集. 【详解】 ， 集合可以表示为. 故选：B 【点睛】 本题考查集合的区间表示，属于基础题. 三、函数的表示法 例题3 3．已知一个等腰三角形的周长为，底边长关于腰长的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意可得，从而可求得底边长关于腰长的函数解析式，再利用三角形任意两边之和大于第三边可求出的取值范围 【详解】 解：由题意得，，即， 由，得，解得， 故选：D 四、分段函数 1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． 3．作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 例题4 4．设f（x）＝，若f（a）＝，则a＝（　　） A． B． C．或 D．2 【答案】C 【分析】 根据解析式分段讨论可求出. 【详解】 解：∵，， ∴由题意知，或， 解得或. 故选：C． 课时训练 1．已知函数，若，求的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题可分为、、三种情况进行讨论，依次确定与的值，代入中计算即可得出结果. 【详解】 若，则，，， 即，，解得； 若，则，，， 即，，解得； 若，，，满足， 综上所述，，的取值范围为， 故选：D. 2．已知，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由分段函数的定义计算． 【详解】 ，， 所以． 故选：B． 3．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 对分情况讨论，分段求出的取值范围，最后再求并集即可． 【详解】 解：①当时，， ， 解得：， ， ②当时，， ， 解得：， ， 综上所述，实数的取值范围是：，． 故选：． 4．函数且的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数性质及其定义域即可判断值域. 【详解】 解：且，或. ， 故函数的值域为． 故选：D. 5．下列函数与函数y＝x是同一函数的是（ ） A．