专题1.4北京卷（压轴8道+模拟变式40道）-【冲刺2022】之2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练

【冲刺2022】之2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练 专题1.4北京卷（压轴8道+模拟变式40道） 说明：本专辑精选了2021年北京卷失分较多和难度较大的题目8道，分别是第8题函数的实际问题、第16题方程的实际应用问题、第21题一元二次方程的判别式及根与系数的关系、第22题四边形的性质与判定、第24题圆的有关计算与证明、第26题二次函数综合问题、第27题几何综合问题、第28题新定义与阅读材料问题，每道题精讲精析，配有变式练习各5道，北京模拟变式训练题共40道，本试题解析共71页. 【压轴一】函数的实际问题 【真题再现】（2021•北京第8题）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【思路点拨】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，可得S关于x的函数关系式，代简即可得出答案． 【详析详解】由题意得， 2（x+y）＝10， ∴x+y＝5， ∴y＝5﹣x， ∵S＝xy ＝x（5﹣x） ＝﹣x2+5x， ∴矩形面积满足的函数关系为S＝﹣x2+5x， 即满足二次函数关系， 故选：A． 【方法小结】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 【变式训练】 【变式1.1】（2021•朝阳区校级模拟）如图所示，将一根长2m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【分析】设矩形的一边长为xm，则另一边的长为（2÷2﹣x）m，令矩形的面积为ym2，由题意可列出y关于x的函数关系式，化简即可得出答案． 【解析】设矩形的一边长为xm，则另一边的长为（2÷2﹣x）m，令矩形的面积为ym2，由题意得： y＝x（2÷2﹣x） ＝x（1﹣x） ＝﹣x2+x， ∴矩形的面积与其一边满足的函数关系是y＝﹣x2+x，即满足二次函数关系． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 【变式1.2】（2021•建湖县一模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．18° B．36° C．41° D．58° 【分析】根据已知三点和近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案． 【解析】由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， ∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃， ∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性质，判断对称轴位置是解题关键． 【变式1.3】（2021•海淀区二模）如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面的距离BC为2m，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【分析】设梯子中点为O，下滑后为O′，过O′作O′M⊥A′C，易得B′C＝2﹣x，根据三角形的中位线定理可得O′M＝1，进而得出y与x的函数关系式，本题得以解答． 【解析】如图所示， 设梯子中点为O，下滑后为O′，过O′作O′M⊥A′C， ∵BC＝2，BB′＝x， ∴B′C＝2﹣x， ∵O′为A′B′中点，O′M⊥A′C， ∴O′M1， ∴，为一次函数． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的应用，利用三角形的中位线定理得出相关线段的数量关系是解答本题的关键． 【变式1.4】（2021•北京模拟）甲、乙两人相约从A地到B地，甲骑自行车先行，乙开车，两人均在同一路线上速匀行驶，乙到B地后即停车等甲．甲、乙两人之间的距离y（千米）与甲行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，则乙从A地到B地所用的时间为（　　） A．0.25小时 B．0.5小时 C．1小时 D．2.5小时 【分析】根据速度＝路程÷时间