精品解析：福建省泉州科技中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题

泉州科技中学2020—2021学年度第二学期期中考 高一年 数学试卷 命题：高二数学备课组 审核教师： 注意事项：①本试卷分第I卷、第II卷两部分，共150分，考试时间120分钟． ②选择题、填空题答案表在答题卡中，请按要求作答． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 设向量，，则下列正确是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 2. 若函数为纯虚数，则的值为 A. B. C. D. 3. 正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三角形中，点在边上，， ， ,则值为（ ） A. B. C. D. 5. 在矩形ABCD中，对角线AC分别与AB，AD所成的角为，，则，在长方体中，对角线与棱所成的角分别为，，，与平面，平面，平面所成的角分别为，，，则下列说法正确的是（ ） ①； ②； ③； ④． A. ①③ B. ②③ C. ①③④ D. ②③④ 6. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，平面ABC，若该三棱锥的体积是，则球O的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 9. 设向量，则下列叙述错误的是（ ） A. 若，则与的夹角为钝角 B. 的最小值为2 C. 与垂直的单位向量为 D. 若，则或 10. 已知复数，为z的共轭复数，复数，则下列结论正确的是（ ） A. 对应的点在复平面的第二象限 B. C. 的实部为 D. 的虚部为 11. 对于△ABC，有如下命题，其中错误的是（ ） A. 若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为锐角三角形 B. 若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为 C. P在△ABC所在平面内，若，则P是△ABC的重心 D. 若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形 12. 如图，直三棱柱中，所有棱长均为1，点为棱上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角的范围是 B. 在棱上存在一点，使平面 C. 若为棱的中点，则平面截三棱柱所得截面面积为 D. 若为棱上的动点，则三棱锥体积的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设复数，则__________ ． 14. 已知向量，，若，则_____． 15. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且 ，现有如下四个结论： ①；②平面； ③三棱锥体积为定值； ④异面直线所成的角为定值. 其中正确结论的序号是______． 16. 已知三边长分别为，，，是平面内任意一点，则的最小值是_______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，在中，，是的中点，设，. （1）试用，表示； （2）若，，且与的夹角为，求. 18. 从下列三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答. ①②③ 在中，角所对的边分别为满足条件______. （1）求角B的大小； （2）若，，求b的值. 19. 如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点. （1）求证：平面ABC. （2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面ABC？并说明理由. 20. 在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F为AD，PC的中点． （1）求证：平面BEF； （2）求证：． 21. 某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，，为路灯灯杆，，，在处安装路灯，且路灯的照明张角，已知m，m． （1）当，重合时，求路灯在路面的照明宽度； （2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值． 22. 如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G. （Ⅰ）证明：G是AB的中点； （Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积． 第1页/共