专题12 导数的应用-学会解题之高考数学 真题命题轨迹（2016-2021）（文）

第三章 导数 专题12 导数的应用 考点1　导数与函数的单调性 年 份 考 向 题型 难度 分值 2021·全国高考乙卷，文21 导数与函数单调性 解答题 难题 12分 2020年高考全国Ⅰ卷文数20 导数与函数的单调性，导数与函数的零点 解答题 难题 12分 2020年高考全国Ⅱ卷文数21 导数与函数单调性 解答题 难题 12分 2018年高考全国Ⅱ卷文数 导数与函数单调性 选择题 基础 5分 2018年高考全国Ⅲ卷文数 导数与函数单调性 选择题 基础 5分 2017年高考全国Ⅱ卷文数 导数与函数单调性 解答题 难题 12分 2016高考新课标1文数 函数单调性 选择题 中档 5分 考点命题特点与分析 本考点主要考查利用导数研究函数的单调性或已知函数的单调性求参数范围，题型为选择题或填空题或解答题第1小题，难度为基础题或中档题或特别是解答题第1小题常要考查分类整合思想，难题较大. 1. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数的图像大致为 【答案】B 【解析】为奇函数，舍去A； ，∴舍去D； 时，，单调递增，舍去C. 因此选B. 2. 【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数的图像大致为 【答案】D 【解析】函数图象过定点，排除A，B； 令，则， 由得，得或，此时函数单调递增， 由得，得或，此时函数单调递减，排除C. 故选D. 3. 【2017年高考浙江】函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是 【答案】D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D． 4. 【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是 【答案】D 【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D． 5. 【2016高考新课标1文数】若函数在单调递增,则a的取值范围是（ ） （A）（B）（C）（D） 【答案】C 【解析】：对恒成立, 故,即恒成立, 即对恒成立,构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,故只需保证,解得．故选C． 6. （2021·全国高考乙卷，文21）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性； (2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：， 导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当时，的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在，上 单调递增，在上单调递减. (2)由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：, 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：, 与联立得， 化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得, ， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和. 【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根. 7.【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）． 【解析】（1）当时，，， 令，解得，令，解得， ∴的减区间为，增区间为． （2）若有两个零点，即有两个解，从方程可知，不成立，即有两个解． 令，则有， 令，解得，令，解得或， ∴函数在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，而时，，当时，，∴当有两个解时，有，∴满足条件的的取值范围是：． 8. 【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）设，讨论函数的单调性． 【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间． 【解析】（1）函数的定义域为：， ， 设，则有， 当时，单调递减；当时，单调递增，∴当时，函数有最大值，即，要想不等式在上恒成立，只需． （2）且，因此， 设，则有， 当时，，∴，单调递减，因此有，