专题10 函数与方程-学会解题之高考数学 真题命题轨迹（2016-2021）（文）

第二章 函数概念与基本初等函数 专题10 函数与方程 考点1　函数的零点与方程根的个数 年 份 考 向 题型 难度 分值 2020年高考天津卷9 已知函数零点个数求参数范围 选择题 较难 5分 2019年高考全国Ⅲ卷文数 在一定范围内的函数的零点个数 选择题 一般 5分 2019年高考天津文数 已知方程解的个数求参数范围 选择题 难题 5分 2017年高考全国Ⅲ卷文数 函数的图象与性质、函数的零点 选择题 较难 5分 2019年高考浙江 已知函数零点个数求参数范围 选择题 较难 5分 2018年高考浙江 已知函数零点个数求参数范围 填空题 较难 5分 考点命题特点与分析 本考点主要考查函数的零点个数或方程解的个数或解得和的问题，难度为中档题或难题，题型为选择题或填空题，要把握此类题的训练难度. 1. 【2020年高考天津卷9】已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根 即可，令，即与的图象有个不同交点． 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以． 综上，的取值范围为，故选D． 2. 【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数在[0，2π]的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】由， 得或， ，或． 在的零点个数是3. 故选B． 3. 【2019年高考天津文数】已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象， 以及直线，如图， 关于x的方程恰有两个互异的实数解， 即为和的图象有两个交点， 平移直线，考虑直线经过点和时，有两个交点，可得或， 考虑直线与在时相切，， 由，解得（舍去）， 所以的取值范围是. 故选D. 4. 【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数有唯一零点，则a= A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由，得 ， 所以， 即为图象的对称轴. 由题意，有唯一零点，所以的零点只能为，即， 解得. 故选C. 5. 【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则 A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0 C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0 【答案】C 【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点； 当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b， ， 当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0， y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意； 当a+1＞0，即a>﹣1时， 令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增， 令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减， 则函数最多有2个零点. 根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图： ∴0且， 解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3， 则a>–1，b<0. 故选C． 6. 【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】(1,4)； 【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是 当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为. 考点2 函数的综合应用问题 年 份 考 向 题型 难度 分值 2021北京高考，13 函数零点 填空题 难题 5分 2021天津高考，9 函数零点 选择题 难题 5分 2020年高考天津卷9 已知函数零点个数求参数范围 选择题 难题 5分 2017年高考北京文数 对数实际应用 选择题 中档 5分 2019年高考北京文数 实际应用题 填空题 中档 5分 考点命题特点与分析 本考点主要考查利用函数知识解决实际问题能力，考查数学建模能力，题型为选择题或填空题，难度为中档或难题. 1.（2021北京高考，13）已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有两个零点； ②，使得有一个零点； ③，使得有三个零点； ④，使得有三个零