专题12 导数的应用-学会解题之高考数学 真题命题轨迹（2016-2021）（理）

第三章 导数 专题12 导数的应用 考点1　导数与函数的单调性 年 份 考 向 题型 难度 分值 2021·全国高考甲卷，理21 函数的单调性及两个函数图象的交点个数 解答题 难题 12分 2018年高考全国Ⅱ卷理数 单调性，奇偶性，对称性. 选择题 基础 5分 2018年高考全国Ⅲ卷理数 单调性 选择题 基础 5分 考点命题特点与分析 本考点主要考查利用导数研究函数的单调性或已知函数的单调性求参数范围，题型为选择题或填空题或解答题第1小题，难度为基础题或中档题或特别是解答题第1小题常要考查分类整合思想，难题较大. 1. 【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数的图像大致为 【答案】B 【解析】为奇函数，舍去A； ，∴舍去D； 时，，单调递增，舍去C. 因此选B. 2. 【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数的图像大致为 【答案】D 【解析】函数图象过定点，排除A，B； 令，则， 由得，得或，此时函数单调递增， 由得，得或，此时函数单调递减，排除C. 故选D. 3. 【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围. 若函数为奇函数，则即， 即对任意的恒成立， 则，得. 若函数是R上的增函数，则在R上恒成立， 即在R上恒成立， 又，则， 即实数的取值范围是. 4. （2021·全国高考甲卷，理21）已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）. 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性； （2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围. 【解析】（1）当时，，=， 令得,当时，,当时，, ∴函数在上单调递增；上单调递减； （2）,设函数, 则,令，得, 在内,单调递增； 在上,单调递减； , 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是, 所以的取值范围是. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，关键是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解. 5.【2020年高考天津卷20】已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析． 【解析】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，．可得，， ∴曲线在点处的切线方程为，即． (ii) 依题意，． 从而可得，整理可得：， 令，解得． 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 ∴函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值． (Ⅱ)证明：由，得． 对任意的，且，令，则 ． ① 令． 当x>1时，， 由此可得在单调递增，∴当t>1时，，即． ∵，，， ∴ ② 由(I)(ii)可知，当时，，即，故 ③ 由①②③可得． ∴当时，任意的，且，有． 6. 【2016年高考北京理数】设函数，曲线在点处的切线方程为， （1）求，的值； （2）求的单调区间. 【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为. 【解析】（1）因为，所以. 依题设，即 解得；（2）由（Ⅰ）知. 由即知，与同号. 令，则. 所以，当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增. 故是在区间上的最小值， 从而. 综上可知，，，故的单调递增区间为. 考点2 导数与函数的极值与最值 年 份 考 向 题型 难度 分值 2021·全国高考乙卷，理10 导数与极值 选择题 中档 5分 2021·全国新课标，15 函数的最值 填空题 中档 5分 2021北京高考，19 函数的切线、导数与函数的最值 解答题 难题 12分 2020年高考全国Ⅰ卷理数21 导数与函数的单调性、极值（最值） 解答题 难题 12分