第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题02 含参一元二次不等式的解法- 2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题05 含参数一元二次不等式的解法 解含参一元二次不等式，常常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点。解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较根的大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号。以下举例分析，加以归纳。解决此类问题对提升自己函数与方程思想、数形结合思想及分类与整合思想有很大裨益。 【题型导图】 类型一 比较根的大小 例1. (2021·福建屏东中学高一期末) 若，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，因，所以或，因此不等式的解集为. 故选：D. 【变式1】（2021·六安市裕安区新安中学高一期末）已知，关于x的不等式的解集为（ ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【详解】不等式化为，，， 故不等式的解集为或.故选：A. 【变式2】关于x的不等式63x2-2mx-m2<0的解集为（ ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】D 【详解】原不等式可化为，对应方程的二根为，需对m分三种情况讨论： 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 时，，不等式解集为. 故不等式的解集与m有关，ABC均不正确，故选：D. 【变式3】解关于的不等式（为常数且）.【分析】,先讨论时不等式的解集；当时，讨论与的大小，即分，，分别写出不等式的解集即可. 【解析】原不等式可化为 （1）时，不等式的解集为； （2）时，若，，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，，不等式的解集为； 综上时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【痛点直击】运算需熟练，思路要明确。 具体步骤为；1.将所给的一元二次不等式进行因式分解； 2.比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论； 3.得出结论. 类型二 判别式的符号 例2.（2021·山东泰安实验中学高一期末） 解不等式： 【解答】见解析 【解析】， ∴当，即时，解集为R， 当时，即时，解集为； 当或，即时，此时两根分别为，， 此时，∴不等式的解集为. 【变式1】（2021·江西九江一中高一期末） 设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，则k的取值范围为 ． 【答案】 【解析】B中的不等式对于方程为x2－(2x－1)k＋k2=0， ， (1)当k=0时， . (2)当k＞0时，△＜0，x. (3)当k＜0时，. 故：当时，由B=R，显然有A， 当k＜0时，为使A，需要k，于是k时，. ，比较 因为 (1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}. (2)当k=1时，x. (3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=. 综上所述，k的取值范围是： 【变式2】（2021·邵东创新实验学校高一期中）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是________(写出任何一个满足条件的值即可）. 【答案】13，14，15(写出任何一个值即可） 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数， 所以，即， 由，解得， 故关于x的一元二次不等式的解集为， 因关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数， 所以 ，即， 又因，所以，或都满足. 故答案为：13，14，15(写出任何一个值即可）. 【变式3】（2021·江苏南通高一期末）若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为______，实数的取值范围为______. 【答案】3 ； 【详解】 令 可得 由，所以 所以不等式的解集为 依题可知：不等式有且只有两个整数解 所以这两个整数解为：1，2 所以这两个整数解之和为3 满足，又，所以. 【痛点直击】由于一元二次不等式对应的方程不易因式分解，需要对进行分类，具体步骤为； 1.求出不等式所对应方程的判别式； 2.讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集。 类型三 二次项系数的符号 例3. （2021·山西师大附中高一期末）解不等式： 【解答】见解析 【解析】由题；（1）当时，不等式，解集为； （2）当 时， ， 解方程得，， ∴当时，解集为； 当时，解集为. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【变式1】已知关于x的不等式ax2﹣ax+2＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是　 　． 【解答】0≤a＜8 【解析】①若a＝0，则原不等式等价为2＞0，此时不等式恒成立，所以a＝0．