第03讲二次根式加减乘除运算（讲+练）-【A+课堂】2021-2022学年八年级数学上册同步精讲精练（沪教版）

第3讲 二次根式的加减乘除运算 知识一、二次根式加减法 二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式，一般按以下三个步骤进行： （1）将每个二次根式都化简； （2）找出同类二次根式； （3）合并同类二次根式. 【备注】 在进行二次根式的加减运算时，应注意三点∶ 其一，如果有括号，要去括号，如果括号前是"一"号，去括号时，要注意符号.去括号和化简各二次根式可同时进行 其二，只有同类二次根式才能合并，不是同类二次根式则不能合并.合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变. 其三，在最后结果中，二次根式的系数一般不写成带分数，而写成假分数. 题型探究 【例1】计算： （1）． （2）． （3）； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 解：（1） ． （2）原式， ． （3） = =． 【例2】计算： （1）． （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 解： （1）原式=2+3﹣2 =． （2） ． 【例3】不等式：2x+>4x-的解是_____． 【答案】 【解析】 故答案为：． 举一反三 1.不等式：2x+>7x-的解是_____． 【答案】 【解析】 故答案为：． 2.计算：． 【答案】． 【解析】 解：原式 ． 3.计算：． 【答案】 【解析】 原式 ． 4.计算. 【答案】 【解析】 解：原式= 5.． 【答案】 【解析】 解：原式＝ ＝． 知识二、二次根式的乘除法 二次根式的乘法运算：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变； 二次根式的除法运算：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变； 二次根式的乘除运算的最后结果必须化成最简二次根式. 【备注】按照法则进行二次根式的乘法时，应注意以下三点∶ 其一，二次根式的乘法和加减法不同;几个同类二次根式相加减，只要合并它们的系数，被开方数不变，但二次根式相乘，如果二次根式前有系数，不仅二次根式前的系数要相乘，而且被开方数也要相乘，此外，二次根式相加减时，要先把各个二次根式化为最简二次根式，而几个二次根式相乘时，不必先化为最简二次根式. 其二，在具体计算时，一般不要急于求出被开方数的积，而先把被开方数的积写成因数或因式的幂的形式，否则计算会复杂化.如果把化为再计算，就比较麻烦;而把它化为再计算，就比较简便. 其三，二次根式相乘的结果，其中的根式应化为最简二次根式或有理式. 二次根式的除法和乘法有类似运算的法则，先分别把根号外的系数和根号内的被开方数相除，再把除得的结果相乘在系数或被开方数相除时，当除式是分数或分式时，可转化为乘法计算.为了方便，在二次根式的除法中，一般先写成分式形式，如果发现分子、分母均为单个根式，且有相同因式时，可先约去相同的因式. 和二次根式的乘法一样，最后计算结果中的根式一定要化为最简二次根式或有理式. 题型探究 【例4】（1）计算：________． 【答案】 【解析】 解：原式． 故答案是：． （2）计算：__________． 【答案】 【解析】 解：； 故答案为． （3）计算：=____________． 【答案】 【解析】 原式=． 故答案是： （4）计算： 【答案】 【解析】 原式= = = =. 【例5】（1）计算： 【答案】 【解析】 解：原式= = = （2）计算： 【答案】 【解析】 解： ＝ ＝ ＝ ＝． 【例6】（1）计算：； 【答案】； 【解析】 解：（1）原式 ； 计算： （2） 【答案】 【解析】 解：原式 ． （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 解：原式 将代入上式得 原式． 【例7】（1）比较大小________（填，，）． 【答案】 【解析】 ∵， 又23， ∴． 故答案为． （2）比较大小：______ 【答案】< 【解析】 ，， ， ． 故答案为：． （3）比较大小：3__________（填“＞”、“＜”、“=”）． 【答案】 【解析】 解：，， ∵， ∴； 故答案为：＞． 举一反三 1.比较的大小，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：， ， 即：； 故选：A． 2.比较大小：________．（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【解析】 解：， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3.计算：＝_____，比较大小2_____．（填“＜”、“＞”或“＝”） 【答案】 【解析】 解：原式； 因为，，且， 所以：， 故答案为：；． 4.化简：__________． 【答案】3 【解析】 解：， 故答案为：3． 5.计算：． 【答案】 【解析】 解：原式 ． 6.计算： 【答案】 【解析】 解：原式