第15讲 锐角三角函数-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（华东师大版）

第15讲 锐角三角函数 1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 知识点01 锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 ； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 ； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即 . 同理 ； ； ． 【微点拨】 　　(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． 　　(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，， 　 　　，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成 　 　　“tanAEF”；另外，、、常写成、、． 　　(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． 　　(4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0． 【即学即练1】 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　） A．2 B． C． D． 【点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【答案】D． 【解析】 解：如图： ， 由勾股定理，得 AC=，AB=2，BC=， ∴△ABC为直角三角形， ∴tan∠B==， 故选：D． 【总结】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数． 知识点02 特殊角的三角函数值 　　　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 【微点拨】 　　(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角． 　　(2)仔细研究表中数值的规律会发现： 　 　　、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 　 　　①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； 　 　　②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)． 【即学即练2】 求下列各式的值： (1)（2021•茂名校级一模） 6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°； (2)（2021•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°； (3)（2021•宝山区一模） +tan60°﹣． 【解析】 解：（1）原式= = ． (2) 原式=×﹣4×（）2+× =﹣3+ = ； (3) 原式=+﹣ =2+﹣ =3﹣2+2 = ． 【总结】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简． 知识点03锐角三角函数之间的关系 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 　　(1)互余关系：，； 　　(2)平方关系：； 　　(3)倒数关系：或； 　　(4)商数关系：． 【微点拨】 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 【即学即练3】 已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0 （1）试判断△ABC的形状． （2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值． 【解析】 解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0， ∴tanA=1，sinB=， ∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴△ABC是锐角三角形； （2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°， ∴原式=（1+）2﹣2﹣1 =． 【总结】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键． 题组A 基础过关练 1. 已知为锐角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：在中，，