极坐标与参数方程-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-4同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-4 坐标系与参数方程 测试内容：极坐标、参数方程 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 【基础知识点一】平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 【基础知识点二】极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角． (2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立： 或，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 【基础知识点三】常见曲线的极坐标方程 【基础知识点四】参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程． 【基础知识点五】常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) (t为参数) 圆 x2＋y2＝r2 (θ为参数) 椭圆 ＋＝1(a>b>0) (φ为参数) 抛物线 y2＝2px(p>0) (t为参数) 【必知必会题型一】极坐标与直角坐标的互化 【解题方法】 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度． (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换． 例1.在极坐标系中，点到直线的距离为______. 练1．点的极坐标为 __________________； 练2．曲线C的极坐标方程为，则曲线C的直角坐标方程为________． 练3．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，则曲线C与x轴交点的直角坐标为___________. 4．已知点A的极坐标为，则它的直角坐标为__________________. 【必知必会题型二】求曲线的极坐标方程 【解题方法】 求曲线的极坐标方程的步骤 (1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点． (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． 例2.当圆心位于，且过极点，则圆的极坐标方程是：________. 练1．把圆绕极点按顺时针方向旋转所得圆的极坐标方程为______． 练2．曲线C的直角坐标方程化成极坐标方程为_______. 练3．在极坐标系中，以为圆心，以为半径的圆的极坐标方程为__________. 练4．求圆心为,半径为3的圆的极坐标方程为 ___________________. 【必知必会题型三】极坐标方程的应用 【解题方法】 极坐标应用中的注意事项 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位． (2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题． (3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系． 例3.以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝. (1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程. 练1．在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程． 练2．已知直线l：