11.1.2三角形的高、中线与角平分线-2021-2022学年八年级上册初二数学【名校培优课堂】同步导学案（人教版）

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 学习目标：1.理解三角形的高、中线与角平分线的概念，了解三角形的稳定性. 2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线. 重点：三角形的高、中线与角平分线的特征. 难点：三角形的高、中线与角平分线的应用. 一、知识链接 1.如图按要求作图： P A A B O B （1）在左图中，过点P作线段AB的垂线PD；作出线段AB的中点E.则有____=_____. （2）在右图中，作出∠AOB的平分线，则有∠_____=∠_____=_____∠AOB. 二、新知预习 1.三角形的高： （1）小学我们已经学过三角形的高，如图①，过点A向它的对边画垂线，作出△ABC 的高AD. （2）自主归纳： ①从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角 形的高线，简称三角形的高. ②一个三角形有______条高， 请在图①中作出△ABC的另外两条高. ③三角形的高是一条_______. 2.（1）如图②，连接△ABC的顶点A和它的边BC的中点D，类比三角形高线的定义， 则所得的线段AD应叫做△ABC的边BC上的_____线.并画出△ABC其他的两条中线. （2）自主归纳： ①在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线. ②一个三角形有_____条中线，每条中线都是一条______. 3.三角形的角平分线： （1） 如图③，你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗? (2)自主归纳 三角形角平分线定义：____________________________________________. 三角形的角平分线与角的平分线的区别是：__________________________. ③ 一个三角形有_______条角平分线. 4.几何语言表示三角形的高、中线、角平分线 几何推理 图例 三角形的高 ∵AD是△ABC的高， ∴①____⊥_____， ②∠ADB=∠______=______° 三角形的中线 ∵CF是△ABC的中线， ∴①AF=_____=______AC. ②AC=____AF=____CF. CB 三角形的角平分线 ∵BE为△ABC的角平分线， ∴①∠1=∠_____=____∠ABC. ②∠ABC=____∠1=___∠2. 三、自学自测 1.按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线. A D G H B C E F I 画中线AD,BE,CF 画高DG,EH,FM 画角平分线GM,HN,IP 四、我的疑惑 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 1、 要点探究 探究点1：三角形的高 做一做：请在下图中画出△ABC的高线. 【归纳总结】三角形的高或其延长线相交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的顶点上，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部. 典例精析 例1：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 方法总结:面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积（但不求出面积），利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 探究点2：三角形的中线 问题1：任意作一个三角形，画出它的三条中线，观察，有什么结论？ 问题2：如图，AD为△ABC的中线，猜想△ABD与△ACD的面积关系，并证明. 【归纳总结】1.三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 典例精析 例2：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求