第11讲 位似图形-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（华东师大版）

第11讲 位似图形 1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小； 知识点01 位似多边形 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 【微点拨】 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的． 4. 作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 【微点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 【即学即练1】 1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（　　）. A. B. C. D. 【点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案． 【答案】D 【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选D． 【总结】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍. 【解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比 为1.5. 画法是： 1．在平面上任取一点O. 2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE. 3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5. 4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′. 这样：＝1.5. ＝＝＝＝ 则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧. 【总结】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小. 考法01 1.在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的 （ ）. A. 3倍 B. C. D.不知AB的长度，无法判断 【答案】C 2.在已知三角形内求作内接正方形． 【解析】 作法： （1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC； （2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′； （3）连接BF′，延长交AC于F； （4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE， GD； ∴四边形DEFG即为所求． 题组A 基础过关练 1.下面给出了相似的一些命题： （1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相 似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（　　）. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误； （2）（3）（5）符合相似的定义，故正确； （4）对应边的比不一定相等．故错误． 故正确的是：（2）（3）（5）．故选B． 2.下列说法错误的是（　　 ）. A.位似图形一定是相似图形. B.相似图形不一定是位似图形. C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行. 【答案】D. 3.下列说法正确的是（　　 ） . A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE 是ABC放大后的图形. B.两位似图形的面积之比等于相似比. C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比. D.位似图形的周长之比等于相似比的平方. 【答案】C. 4. 下列命题：①两个正方形是位