第一章 1.2 集合间的基本关系（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

1．2　集合间的基本关系 课程标准 核心素养 1.理解集合之间的包含与相等关系 2．能识别给定集合的子集、真子集 3．在具体情境中了解空集的含义并会应用 1.能识别给定集合的子集、真子集(逻辑推理) 2．会判断集合间的关系，并能用符号和Venn图表示(直观想象) [对应学生用书P6] 1．Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2．子集、真子集、集合相等的概念及表示 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A B (或B A) 集合 相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 　(1)任何两个集合之间是否有包含关系？ 答案：不一定．如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就没有包含关系． (2)符号“∈”与“⊆”有何不同？ 答案：符号“∈”表示元素与集合之间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 判断正误． (1)任何一个集合都有子集．( √ ) (2){0}⊆{x|x2＋2＝0}．( × ) (3)任何一个集合都有真子集．( × ) (4)若A＝{2，3，6}，B＝{x|x是12的约数}，则AB．( √ ) 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A． (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C． 4．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅． (2)空集的性质： ①空集是任何集合的子集； ②空集是任何非空集合的真子集，即∅A(A为非空集合). 由上述性质可知空集只有一个子集，即它本身． ∅与0，{0}，{∅}之间的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无 的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素；{0}含 一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含 一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或 ∅∈{∅} 下面集合中，表示空集的是( B ) A．{0} B．{x|x2＋1＝0，x∈R} C．{x|x2－1>0，x∈R} D．{(x，y)|x2＋y2＝0，x∈R，y∈R} [对应学生用书P7] 知识点一　集合间关系的判断 指出下列各组集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|0<x<5}； (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}； (3)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}； (4)A＝{(x，y)|xy>0}，B＝{(x，y)|x>0，y>0或x<0，y<0}． 解：(1)(方法一)集合B中的元素都在集合A中，但集合A中有些元素(比如0，－0.5)不在集合B中，故BA． (方法二)在数轴上表示出集合A，B，如图所示，由图可知BA． (2)∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴BA． (3)A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}．在集合B中，当n为奇数时，x＝＝1，∴B＝{0，1}，∴A＝B．＝0，当n为偶数时，x＝ (4)(方法一)由xy>0得x>0，y>0或x<0，y<0；由x>0，y>0或x<0，y<0得xy>0，从而A＝B． (方法二)集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，集合B中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A＝B． 判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法 当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，利用定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法 首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法 利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴． 　(1)设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为(　B　) A．P⊆N⊆M⊆Q B．Q⊆M⊆N⊆P C．P⊆M⊆N⊆Q D．Q⊆N⊆M⊆P 解析：正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形．故选B． (2)设集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x<2或x>3}，则A与B的关系为(　C　) A．A∈B B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A 解析：∵0<2，∴0∈B．又∵1<2，∴1∈B．∴A⊆B．故选C． 知识点二　子集、真子集的个数问题 (1)已知集合A＝{x∈Z|－2≤x<2}