第一章 1.3 第2课时 补集（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第2课时　补集 [对应学生用书P12] 1．全集 (1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U． 通常也把给定的集合作为全集．研究的问题不同，全集也就不同． 　全集一定是实数集吗？ 答案：不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素“逃不出”全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比． 实数 集合 被减数a 被减集合(全集)U 减数b 减集合A 差a－b 补集∁UA (4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一． 　∁UA包含哪三层意思？ 答案：①A是U的子集，即A⊆U；②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． 判断正误． (1)集合∁RA＝∁QA．( × ) (2)一个集合的补集一定含有元素．( × ) (3)存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA．( × ) (4)设全集U＝R，A＝.( × )，则∁UA＝ [对应学生用书P13] 知识点一　补集的运算 (1)设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，则∁UA＝(　D　) A．∅ B．{1，3，5} C．{2，4} D．{0，1，3，5} 解析：因为集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，所以∁UA＝{0，1，3，5}．故选D． (2)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集∁UA为(　C　) A．{x∈R|0<x<2} B．{x∈R|0≤x<2} C．{x∈R|0<x≤2} D．{x∈R|0≤x≤2} 解析：借助数轴易得∁UA＝{x∈R|0<x≤2}． 故选C． 求集合补集的策略 (1)若所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错． (2)若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解． (1)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝(　C　) A．∅ B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 解析：因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，所以∁UA＝{2，4，5}．故选C． (2)设全集U＝{1，2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁UA＝____{2}____． 解析：若x＝2，则x2－2＝2，U＝{1，2，2}，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去). 故U＝{1，2，－1}，A＝{1，－1}，则∁UA＝{2}． 知识点二　交、并、补集的综合运算 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB). 解：利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，如图． 则∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}． 所以A∩B＝{x|－2<x≤2}； (∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}； A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}． (1)求解与不等式有关的集合问题的方法 解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到． (2)求解集合混合运算问题的一般顺序 解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分． 　已知集合S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}． 求：(1)(∁SA)∩(∁SB)； (2)∁S(A∪B)； (3)(∁SA)∪(∁SB)； (4)∁S(A∩B). 解：如图所示， 可得A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}， ∁SA＝{x|1<x<2或5≤x≤7}， ∁SB＝{x|1<x<3或x＝7}． 由此可得(1)(∁SA)