第一章 1.5.1 全称量词与存在量词（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

1．5　全称量词与存在量词 课程标准 核心素养 1.全称量词与存在量词 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 2．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 (2)能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 1.会用数学符号表示全称量词命题和存在量词命题(数学抽象) 2．会判断全称量词命题和存在量词命题的真假(逻辑推理) 3．能对含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题进行否定(逻辑推理) 4．能利用全称量词命题和存在量词命题的否定解决参数问题(逻辑推理) 1.5.1　全称量词与存在量词 [对应学生用书P20] 1．全称量词与全称量词命题 全称量词 定义 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词 符号表示 ∀ 全称量词命题 定义 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 一般形式 对M中任意一个x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围) 符号表示 ∀x∈M，p(x) (1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题． 注意：全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． (3)一个全称量词命题可以包含多个变量，如“∀x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”． (4)全称量词命题含有全称量词，有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”． 怎样判断一个命题是否为全称量词命题？ 答案：一是看该命题是否含有全称量词，二是看该命题是否为省去全称量词的命题，如果是，我们可以把全称量词补充出来看是否符合逻辑． 下列语句既是命题又是全称量词命题的是________． (1)对任意实数x，x2＋1≥2； (2)有一个实数a，a不能取对数； (3)每一个向量都有方向吗？ (1)　解析：(1)(2)是命题，(3)不是命题．其中(1)中含有全称量词，所以是全称量词命题． 2．存在量词与存在量词命题 存在 量词 定义 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词 符号表示 ∃ 存在量 词命题 定义 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 一般形式 存在M中的元素x，p(x)成立(说明：M表示变量x的取值范围) 符号表示 ∃x∈M，p(x) (1)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题． (2)常用的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等． (3)含有存在量词的命题，不管包含的程度多大，都是存在量词命题． (4)一个存在量词命题可以包含多个变量，如“∃a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”． (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． “一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式． 答案：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使一元二次方程ax2＋2x＋1＝0”． (1)判断正误． ①“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题．( √ ) ②存在量词命题“∃x∈R，x2<0”是真命题．( × ) ③“三角形内角和是180°”是全称量词命题．( √ ) ④∀x∈R，x2＋1≥1是真命题．( √ ) (2)(多选)下列语句中，是存在量词命题的有( BD ) A．菱形的四条边相等　　　 B．至少有一个负整数是奇数 C．所有有理数都是实数 D．有一个奇数不能被3整除 [对应学生用书P21] 知识点一　全称量词命题与存在量词命题的判断 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述． (1)对任意x∈{x|x>－1}，3x＋4>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形． 解：(1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1}，3x＋4>0. (2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一个解． (3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除． (4)存在量词命题，表示为∃x∈{x|x是四边形}，x不是平行四边形． 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题． 判断下列命题是全称量词命题，还是存在量