第二章 2.2 第1课时 基本不等式（Word教师用书）-【优化指导】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

2.2　基本不等式 课程标准 核心素养 掌握基本不等式(a，b≥0).结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题≤ 1.理解基本不等式的推导过程(逻辑推理) 2．掌握基本不等式的使用条件(数学抽象) 3．会用基本不等式解决最值问题(逻辑推理、数学运算) 第1课时　基本不等式 [对应学生用书P32] 1．基本不等式：如果a＞0，b＞0，，当且仅当a＝b时，等号成立．≤ 其中，叫做正数a，b的几何平均数. 叫做正数a，b的算术平均数， 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 基本不等式成立的条件是a＞0，b＞0 (1)若a＜0，b＜0，如a＝－2，b＝－4，则会出现的错误结论．≥ (2)若a，b中有一个小于0，如a＝2，b＝－4，则无意义． (3)若a或b等于0，虽然该不等式也成立，但在基本不等式中一般不研究这种情况． (1)如图，是某届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理作的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车． 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？ 答案：由图可知，①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；②a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)不等式中等号成立的条件相同吗？≥≥ab和 答案：不相同，前者仅需a＝b即可，后者要求a＝b＞0. (1)判断正误． ①若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2.( √ ) ②a＞0，b＞0，则ab≤.( √ ) ③对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．( × ) ④若a≠0，则a＋＝2.( × )≥2 (2)已知0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，下列各式中最大的是( D ) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b [对应学生用书P33] 知识点一　对基本不等式的理解 (多选)下面四个推导过程正确的有(　AC　) A．若a，b为正实数，则＝2≥2＋ B．若a∈R，a≠0，则＝4＋a≥2 C．若x，y∈R，xy＜0，则＝－2≤－2＝－＋ D．若a＜0，b＜0，则≤ab 解析：选项A中，∵a，b为正实数，∴≥ab，D错误．故选AC．均变为正数，符合均值不等式的条件，故C正确；选项D中，若a＜0，b＜0，则，－提出负号后，－＋均为负数，但在推导过程中将整体，＝4是错误的；选项C中，由xy＜0，得＋a≥2为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确；选项B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴， (1)基本不等式(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． ≤ (2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面．①定理成立的条件是a，b都是正数；②“当且仅当”的含义：当a＝b时，⇒a＝B． ＝的等号成立，即≥；仅当a＝b时，＝的等号成立，即a＝b⇒≤ 下列不等式的推导过程正确的是__②__． ①若x＞1，则x＋＝2.≥2 ②若x＜0，则x＋≤＝－ －2＝－4. ③若a，b∈R，则＝2.≥2＋ 解析：①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝＞2；③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋，即x＝1时，x＋ 知识点二　利用基本不等式比较大小 (1)已知a，b∈R，且a＞0，b＞0，则下列各式中不一定成立的是(　D　) A．a＋b≥2≥2＋　　　　　　　B． C．≥ D．≥2 解析：由， 得a＋b≥2≥ ∴选项A成立； ∵＝2，∴选项B成立；≥2＋ ∵，∴选项C成立；＝2≥ ∵，∴选项D不一定成立．故选D．＝≤ (2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是__ p>q__． 解析：∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2＞2bc，a2＋c2＞2aC． ∴2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ac). ∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac，即p>q. (1)在理解基本不等式时，要从形式到内涵中理解，特别要关注条件． (2)运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a＞0，b＞0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝B． 如果0＜a＜b＜1，P＝，那么P，Q，M的大小顺序是(　B　)，M＝，Q＝ A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 解析：显然，故M＞P＞Q.故选B． ＞＞＜1可得)，所以，也就是(由a＋b＞＜，又因为＞ 知识点三　利用基本不等式证明不等式 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＞9.＋＋ 证明：∵a，b，c∈R，且